فصل نامه علمی - پژوهشی
فصل نامه علمی - پژوهشی معرفت فلسفي

بایگانی نشریه

آزمون اعتبار براى منطق ربط KR

* برای مشاهده بهتر این مقاله، نسخه pdf آن را در پایین مقاله مشاهده فرمایید.


سال نهم، شماره اول، پاييز 1390، 39ـ71


اسداللّه فلاحى*


چكيده


در منطق سينوى، «شرطى متّصل لزومى» مهم‏ترين قسم از اقسام شرطى به شمار مى‏آيد. نزديك‏ترين ادات شرطى به شرطى لزومى، در منطق جديد، «استلزام ربطى» است. بخشى از منطق جديد كه به «استلزام ربطى» مى‏پردازد، «منطق ربط» نام دارد. ميان منطق‏دانان ربط، نزاعى هست كه آيا پذيرش يك تناقض، مستلزم هر گزاره دلخواهى است؟ به ديگر سخن، آيا يك گزاره متناقض با هر گزاره دلخواهى مرتبط است؟ پاسخ مثبت به اين سؤال، به منطقى به نام KR و پاسخ منفى به آن به منطقى به نام R مى‏انجامد. منطق KR، نسبت به منطق R، سمانتيك ساده‏تر و شهودى‏ترى دارد. با اين حال، تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در نظام‏ها و سمانتيك‏هاى گوناگون منطق ربط (حتى در KR) كارى دشوار است كه در ادبيات منطق ربط، كمتر به آن پرداخته شده است. در اين مقاله، با الهام از يك روش ارزش‏دهى به نام «آزمون اعتبار» كه هيوز و كرسول در منطق موجّهات معرفى كرده‏اند، يك «آزمون اعتبار» براى منطق KRطرّاحى كرده و كاربرد آن را در چند مثال نشان داده‏ايم.


كليدواژه‏ها: شرطى لزومى، منطق ربط، R، KR، آزمون اعتبار.




مقدّمه


در منطق‏هاى قديم و جديد، ادات شرطى به گونه‏هاى مختلف تقسيم شده‏اند. براى نمونه، در منطق سينوى، شرطى متّصل به دو نوع «لزومى» و «اتّفاقى» تقسيم مى‏گردد؛ متّصل اتّفاقى نيز خود به به دو قسم «اتّفاقى خاص» و «اتّفاقى عام» تفسير مى‏شود.1 اين در حالى است كه در منطق جديد، اقسام زير براى ادات شرطى شناسايى شده است: «استلزام مادّى»، «استلزام اكيد»، «استلزام ربطى»، «استلزام استنتاجى»، «استلزام شهودى»، «شرطى خلاف واقع»، و... .2


تطبيق اقسام شرطى در منطق سينوى با اقسام شرطى در منطق جديد كار چندان ساده‏اى نيست و به آگاهى دقيق از ويژگى‏هاى هريك از اقسام شرطى در هريك از اين دو منطق نيازمند است.3 از ميان شرطى‏هاى منطق سينوى، بى‏گمان، «متّصل لزومى» اهميت بيشترى دارد. متّصل لزومى، غير از استلزام مادّى، با شرطى‏هاى ديگر در منطق جديد قابل تطبيق است؛ از اين‏رو، با شناخت دقيق هريك از اين شرطى‏ها، امكان مقايسه و تطبيق آنها با متّصل لزومى فراهم مى‏آيد. در اين مقاله، از ميان شرطى‏هاى گوناگونى كه در منطق جديد معرفى شده است، تنها به «استلزام ربطى» و دو تفسير مهم از آن مى‏پردازيم.


مجموعه نظام‏هاى منطقى كه تفسيرهاى گوناگون از «استلزام ربطى» را صورت‏بندى مى‏كنند، با عنوان كلّى «منطق ربط»4 يا «منطق ربطى»5 شناخته مى‏شوند.6 ايننظام‏ها بسيارند و مهم‏ترين آنها منطق ربط Rاست كه ساير نظام‏ها در ارتباط با آن و در سايه آن شناخته مى‏شوند. نام اين نظام‏ها در منطق ربط فرعى بودن آنها را نسبت به منطق Rبه خوبى نشان مى‏دهد: CR، KR، RM، RM3، PWR، R+، R£، Rfde، R و... .7 در اين مقاله، تنها به نظام KRمى‏پردازيم و با بيان تفاوت اصلى آن با منطق ربط R، روشى براى تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در KRطرّاحى مى‏كنيم.



آزمون اعتبار


روش‏هاى تعيين اعتبار و عدم اعتبار را «آزمون اعتبار» يا «اعتبارسنجى»8 مى‏نامند.براى منطق گزاره‏ها و منطق محمول‏ها، روش‏هاى گوناگونى به منظور اعتبارسنجى طرّاحى شده است كه شناخته‏شده‏ترين آنها عبارت‏اند از:9 استفاده از جدول‏هاى ارزش،10 روش‏هاى نمودارى،11 صورت نرمال،12 و ارزش‏دهى.13


از ميان روش‏هاى گوناگون براى «آزمون اعتبار»، روش ارزش‏دهى سريع‏ترين و ساده‏ترين روش است. لطف‏اللّه نبوى صورت بسيار ساده‏اى از اين روش را براى منطق جمله‏هاى كلاسيك در كتاب مبانى منطق جديد آورده است.14 جى. اى. هيوز و ماكس كرسوِل روش ارزش‏دهى را با كام‏يابى به منطق موجّهات گسترش داده و آن را معرفى كرده‏اند.15 نگارنده نيز در پايان‏نامه كارشناسى ارشد خود، معرفى اين روش را بهفارسى برگردانده است.16


از آنجا كه تا زمان نگارش اين مقاله نتوانستيم روش ارزش‏دهى را در ادبيات منطق ربط بيابيم، تلاش كرده‏ايم تا روش هيوز و كرسول را به منطق ربط گسترش دهيم. اين كار اصولاً بايد در مورد منطق ربط Rانجام گيرد؛ امّا گسترش روش ارزش‏دهى به اين منطق پيچيدگى‏هايى دارد كه پرداختن به آن را دشوار مى‏سازد. اين در حالى است كه تعميم روش هيوز و كرسول به منطق ربط KR(كه در مقدّمه معرفى كرديم) بسيار آسان‏تر است. به همين سبب، در اين مقاله، فقط از طرّاحى روش ارزش‏دهى براى منطق KR سخن مى‏گوييم و گسترش آن به منطق Rرا در مقاله ديگرى بررسى مى‏كنيم. در ادامه، نخست، معرفى كوتاهى از نظام اصل موضوعى براى منطق ربط KRو سمانتيك آن به دست مى‏دهيم؛ سپس، به آزمون اعتبارى كه براى آن طرّاحى كرده‏ايم، مى‏پردازيم.



منطق ربط KR


منطق KRاز افزودن اصل موضوع «از تناقض»، B(A~A) يا شكل قاعده‏اى آن به منطق Rبه دست مى‏آيد:













A Ù ~A



از تناقض (EFQ)



B



درباره اصل‏موضوع و قاعده «از تناقض» سخن خواهيم گفت؛ امّا پيش از آن، بايد منطق Rرا معرفى كنيم. نبوى در كتاب مبانى منطق فلسفى نظام اصل موضوعى و دستگاه استنتاج طبيعى براى منطق Rرا به تفصيل معرفى كرده است.17 ما در اينجا، براى اختصار، تنها نظام اصل موضوعى منطق Rرا معرفى مى‏كنيم:



قواعد منطق R


چنان‏كه گفتيم، افزودن اصل موضوع «از تناقض» (EFQ) به منطق Rما را به منطق KRمى‏رساند:
























قاعدة وضع مقدّم



⊢A→B , ⊢A Þ ⊢ B



MP



قاعدة پيوند



⊢A , ⊢B Þ ⊢A Ù B



Ad



اصول موضوعة منطق R:


































































هماني



A → A



I



اظهار



A → ((A → B) → B)



C*



تعدّي (پسوند)



(A → B) → ((B → C) → (A → C))





انقباض



(A → (A → B)) → (A → B)



W



حذف عاطف



(A Ù B) → A


(A Ù B) → B



ÙE



معرفي عاطف



[(A → B) Ù (A → C)] → [A → (B Ù C)]



ÙI



حذف فاصل



[(A → C) Ù (B → C)] → [(A Ú B) → C]



ÚE



معرفي فاصل



A → (A Ú B)


B → (A Ú B)



ÚI



پخش ضعيف



(A Ù (B Ú C)) → ((A Ù B) Ú C)



Dis



حذف نقض مضاعف



~ ~A → A



DNE



معرفي نقض مضاعف



A → ~ ~ A



DNI



عكس نقيض



(A → B) → (~ B → ~ A)



CON



چنان كه گفتيم، افزودن اصل موضوع «از تناقض»، EFQ، به منطق R ما را به منطق KR مي‌رساند:











از تناقض



(AÙ~A)→B



EFQ



اصل يا قاعده «از تناقض» مى‏گويد: از هر تناقض، مى‏توان گزاره دلخواه را نتيجه گرفت. اين ادّعا با شهودهاى ما سازگار نيست؛ از اين‏رو، منطق‏دانانِ ربط از پذيرش آن سر باز زده‏اند. امّا انكار اين اصل سبب شده است كه در منطق ربط R، يك اصل و قاعده بسيار شهودى به نام «قياس انفصالى» از دست برود:















AÚB


~A



قاعدة «قياس انفصالي»



[(AÚB) Ù ~A] → B



اصل «قياس انفصالي»



B



همين مسئله موجب شده است كه مخالفان منطق ربط انتقادات بسيارى را به منطق R وارد سازند.18 منطق‏دانان ربط پاسخ‏هاى بسيارى به اين ايرادها داده‏اند.19 يكى از اين پاسخ‏ها مى‏تواند اين باشد كه اصل يا قاعده «قياس انفصالى» را به منطق Rبيفزاييم. افزودن اين قاعده سبب مى‏شود اصل يا قاعده «از تناقض» اثبات شود و منطق KRبه دست آيد. بنابراين، منطق KRمى‏تواند پاسخى باشد به انتقادات سهمگينى كه به نامعتبر بودن قياس انفصالى در منطق Rوارد شده است. درباره نقاط قوّت و ضعف اين پاسخ مى‏توان سخن گفت؛ امّا در اين مقاله، ترجيح مى‏دهيم تنها به يكى از نقاط قوّت آن اشاره كنيم: منطق KR، سمانتيك ساده‏تر و شهودى‏ترى نسبت به منطق Rدارد و آزمون اعتبار ما براى آن آسان‏تر از آزمون اعتبار منطق Rاست.



سمانتيك منطق KR


سمانتيك منطق ربط صورت‏بندى‏هاى گوناگون دارد كه در اينجا، صورت‏بندى گريم پريست و ريچارد سيلوان را ارائه مى‏كنيم كه ساده‏ترين صورت‏بندى از سمانتيك منطق ربط است. در اين صورت‏بندى، كه در سال 1992 به دست داده شده،20 «ساختار» سه‏تايى مرتّب <W, g ,R>، و «مدل» چهارتايى مرتّب <W, g, R, V>است:


F = <W,g,R>


M = <W,g,R,V>


F ساختارى است كه از W، g و R ساخته مى‏شود: Wمجموعه جهان‏هاى ممكن (نرمال و غيرنرمال) است، g«تنها جهان نرمال» مى‏باشد و Rيك رابطه دسترس‏پذيرىِ «سه‏موضعى» روى جهان‏هاست. Mنيز مدل يا الگوست كه از افزودن تابع ارزش‏دهى V به ساختار، به دست مى‏آيد.


در اين سمانتيك، شرايط صدق ادات‏هاى «ناقض»، «عاطف»، و «فاصل»، و سورهاى كلّى و جزئى به صورت كلاسيك باقى مى‏ماند؛ امّا شرط صدق «استلزام ربطى» به صورت زير تغيير مى‏كند:



شرايط صدق شرطى در سمانتيك منطق KR


















در جهان نرمال g :



"x (⊨x A É ⊨x B)



ات‌ا



⊨g (A → B)



در جهان غيرنرمال w :



"x"y [Rwxy É (⊨x A É ⊨y B)]



ات‌ا



⊨W (A → B)



چنان‏كه ديده مى‏شود، شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان نرمال g، دقيقا شبيه شرط صدق «استلزام اكيد» در جهان‏هاى سمانتيك منطق S5است.21


سمانتيك KR، شرايط ساختار بسيار شبيه شرايط ساختار در سمانتيك S5است:



شرايط ساختار در سمانتيك منطق KR


































شرط g :



اين‌هماني



 

Rgab º (a=b)



 

 

انعكاس



 

Raaa



بازتابي



شرايط R :



تقارن



 

Rabc º Rbac º Racb



جابجايي



 

تعدي



 

R(ab)cd º Ra(bc)d



شركت‌پذيري



بازتابى جابه‏جايى شركت‏پذيرى براى درك مفهوم شرط «تعدّى»، به دو تعريف نخست از سه تعريف زير نياز داريم:


$x(Rabx & Rxcd)تعR(ab)cd =


$x(Rbcx & Raxd)تعRa(bc)d =


$x(Rcdx & Rabx)تعRab(cd) =


تعريف سوم در ادبيات منطق ربط نيامده است و عملاً هم موردنياز نخواهد بود؛ امّا سنجش آن با دو تعريف نخست، براى درك آن دو تعريف، سودمند است. با دو تعريف نخست، شرط تعدّى به صورت زير درمى‏آيد:


تعدّى $x(Rabx & Rxcd) = $x(Rbcx & Raxd)


چنان‏كه ديده مى‏شود، شرط «تعدّى» براى رابطه سه‏موضعى نسبت به رابطه دوموضعى بسيار پيچيده‏تر است. نام‏هاى «جابه‏جايى» و «شركت‏پذيرى» براى دو شرط «تقارن» و «تعدّى» كاملاً مفهوم هستند؛ امّا نام «تعدّى» مبهم به نظر مى‏رسد.22



مفهوم رابطه دسترسى


اكنون كه با شرايط رابطه دسترسى و شرط صدق ادات شرطى آشنا شديم، مى‏توانيم مفهوم فلسفى رابطه دسترسى و عبارت‏هايى مانند Rabcو R(ab)cdرا بهتر شرح دهيم.



مفهوم رابطه دسترسى سه‏موضعى


عبارت Rabcمى‏گويد: جهان a، از طريق جهان b، به جهان cدسترسى دارد؛ ساده‏تر اينكه: a، از طريق b، c را مى‏بيند.23 اين عبارت، از ديدگاه فلسفى، به اين معناست كه جهان aبه كمك جهان b، به صورت ربطى، جهان cرا نتيجه مى‏دهد.


امّا نتيجه‏گيرى ميان جمله‏ها و گزاره‏ها معنا مى‏دهد و نه ميان جهان‏ها؛ اينكه جهانى، جهان ديگرى را نتيجه بدهد به چه معناست؟ پاسخ اين است كه مقصود از استنتاج ميان جهان‏ها، استنتاج ميان گزاره‏هاى شرطى و مقدّم آنها در آن جهان‏هاست. با اين بيان، معناى اينكه جهان aبه كمك bجهان cرا نتيجه مى‏دهد دقيقا اين است كه اگر گزاره شرطى PQدر جهان aو گزاره Pدر جهان bصادق باشد، Qدر جهان cصادق است. (اين مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنين كوتاه كرد: وضع مقدّم جهان aبر جهان b، جهان cرا نتيجه مى‏دهد.)


يكى از دشوارى‏ها در فهم رابطه دسترس‏پذيرى R، نشان دادن تصويرى و نمودارى آن است. چگونه مى‏توان رابطه Rabcرا نشان داد؟ در سمانتيك منطق‏هاى وجهى، رابطه دوموضعى Rabرا به سادگى، با نمودار زير، نشان مى‏دهند:













B



 

 

 

a



در سمانتيك منطق S5، اين رابطه را به صورت دوسويه نيز مى‏توان نشان داد:













B



 

 

 

a



رابطه سه‏موضعى Rabcدر منطق KR، به دليل اينكه سه‏موضعى و متقارن است، بايد به صورت مثلثى و با فلش دوسويه در هر ضلع آن نشان داده شود:


































B



 

 

 

a



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c



 

 

امّا از آنجا كه ترسيم نمودار بالا كم‏وبيش دشوار است، نمودار نامتقارن ولى ساده‏تر زير را برمى‏گزينيم:































a



 

 

 

 

 

 

 

c



b



 

 

 

 

 

 

 


مفهوم رابطه دسترسى چهارموضعى


مفهوم عبارت R(ab)cdاندكى پيچيده‏تر است. اين عبارت مى‏گويد: جهان a، از طريق جهان b، به جهان xاى دسترسى دارد كه آن جهان x، از طريق جهان c، به جهان دسترسى دارد. نمودار اين رابطه چهارموضعى به صورت نزولى زير است:

























































a



 

 

x



 

 

 

 

 

 

 

 

 

b



 

 

 

 

 

d



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c



 

 

 

اين نمودار را چنين مى‏خوانيم: a، از طريق b، xاى را نتيجه مى‏دهد كه آن x، از طريق c، dرا نتيجه مى‏دهد. معناى اين نمودار آن است كه اگر گزاره‏هاى شرطى PQو P، به ترتيب، در دو جهان aو bصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر خود Q يك گزاره شرطى مانند RSباشد، اين گزاره شرطى در جهان xصادق است؛ حال اگر Rدر cصادق باشد، Sدر dصادق خواهد بود. بنابراين، عبارت R(ab)cdبدين معناست كه اگر گزاره‏هاى شرطى P(RS)، P و R، به ترتيب، در سه جهان a، b و c صادق باشند، Sدر جهان dصادق است. (اين مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنين كوتاه كرد: وضع مقدّم جهان aبر دو جهان bو c، جهان dرا نتيجه مى‏دهد.)


مفهوم عبارت Ra(bc)dاز اين هم پيچيده‏تر است. اين عبارت، بنا به تعريف، مى‏گويد: جهان b، از طريق جهان c، به جهان xاى دسترسى دارد كه جهان aاز طريق آن جهان x، به جهان dدسترسى دارد. نمودار اين رابطه چهارموضعى به صورت صعودى زير است:

























































 

 

 

a



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b



 

 

 

 

 

d



 

 

 

 

 

c



 

 

 

 

 

 

 

 

x



 

 

 

اين نمودار را چنين مى‏خوانيم: b، از طريق c، xاى را نتيجه مى‏دهد كه aاز طريق آن x، dرا نتيجه مى‏دهد. معناى اين نمودار آن است كه اگر گزاره‏هاى شرطى PQو P، به ترتيب، در دو جهان bو cصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر يك گزاره شرطى مانند QRدر جهان aصادق باشد، با وضع مقدّم بر Qدر x، نتيجه مى‏دهد كه Rدر dصادق است. بنابراين، عبارت Ra(bc)d بدين معناست كه اگر دو گزاره شرطى PQ، QRو گزاره P، به ترتيب، در سه جهان b، a و cصادق باشند، Rدر جهان d صادق است. (اين مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنين كوتاه كرد: قياس شرطى جهان bبر جهان a، جهانى را نتيجه مى‏دهد كه وضع مقدّم آن بر جهان c، جهان dرا نتيجه مى‏دهد.)


اكنون كه مفهوم Rهاى چهارموضعى را شرح داديم و نمودارهاى آنها را ترسيم كرديم، مى‏توانيم Rهاى با موضع‏هاى بيشتر را به دلخواه تعريف كنيم. براى نمونه، دو تعريف از انواع Rپنج‏موضعى را در زير مى‏آوريم:


R(ab)(cd)e =تع $x[Rabx & Rx(cd)e] =تع $x$y(Rabx & Rcdy & Rxye)


R((ab)c)de =تع $x[Rabx & R(xc)de] =تع $x$y(Rabx & Ryde & Rxcy)


نمودار اينها به صورت زير است:


























































































a



 

 

x



 

 

 

 

 

 

 

 

 

y



 

 

 

b



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c



 

 

 

 

 

 

 

 

 

d



 

 

 


 
















































































a



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b



 

 

 

x



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e



c



 

 

 

 

 

 

 

y



 

 

d



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


R((ab)c)de



 

R(ab)(cd)e



در اين دو نمودار، جهان‏هاى xو yرا «جهان‏هاى وسط»، و جهان‏هاى a، b، c، d و e را «جهان‏هاى طرف» مى‏ناميم. با ادامه اين روش، مى‏توان رابطه دسترسى nرموضعى را تعريف كرد:


Ra1a2…an = تع$x [Ra1a2x&Ra2a3… an] =تع R(… ((a1a2)a3)… ) an an-1



تعريف اعتبار


«صدق» و «اعتبار» دو مفهوم سمانتيكى‏اند كه گاه به جاى يكديگر به كار مى‏روند؛ امّا بسيارى از منطق‏دانان اين دو مفهوم را از هم جدا مى‏كنند و صدق را تنها در جهان‏هاى ممكن، و اعتبار را تنها در مدل‏ها و ساختارها به كار مى‏برند. صدق در جهان‏هاى ممكن براى جمله‏نشانه‏ها و جمله‏هاى مركّب متفاوت است: صدق جمله‏نشانه‏ها از طريق تابع ارزش‏دهى تعيين مى‏شود و در يك معنا قراردادى است؛ امّا صدق فرمول‏هاى مركّب بر اساس شرايط صدق ادات‏هاى تعيين مى‏شود و قراردادى نيست. اعتبار نيز در مدل و ساختار متفاوت است: اعتبار در مدل چندين معنا دارد؛ امّا اعتبار در ساختار تنها داراى يك معناست. اعتبار در ساختار همواره به معناى اعتبار در همه مدل‏هاى آن است؛ امّا اعتبار در مدل به چه معناست؟


«اعتبار در مدل» در سمانتيك KRبراى فرمول‏هاى شرطى و غيرشرطى، و قاعده‏هاى يك، دو، سه و چندمقدّمه‏اى متفاوت است:



«اعتبار در مدل» در سمانتيك منطق KR




































اعتبار فرمول غيرشرطي:



g A



=تع



⊨ A



اعتبار فرمول شرطي:



"x (⊨x A É ⊨x B)



=تع



⊨ (A → B)



اعتبار قاعدة تك‌مقدمه‌اي:



"x (⊨x A É ⊨x B)



=تع



A ⊨ B



اعتبار قاعدة دو‌مقدّمه‌اي:



"x"y"z[(Rxyz&⊨xA&⊨yB)É⊨zC]



=تع



A , B ⊨ C



اعتبار قاعدة سه‌مقدّمه‌اي:



"x"y"z"w[(R(xy)zw&⊨xA&⊨yB&⊨zC)É⊨wD]



=تع



A , B , C ⊨ D



اعتبار قاعده‏هاى چهارمقدّمه‏اى و بالاتر را نيز مى‏توان نوشت؛ امّا به كمك تعريفn R موضعى ارائه تعريفى كلّى از آن امكان‏پذير است. البته از آنجا كه ما در عمل با قاعده‏هاى چهارمقدّمه‏اى و بالاتر سروكار نخواهيم داشت، از تعريف آن خوددارى مى‏كنيم. نكته‏اى كه توجه به آن ضرورت دارد اين است كه ادات‏هاى شرطى در تعريف اعتبار همگى «استلزام مادى» هستند و قوانين منطق كلاسيك براى آنها جارى است. توجه به اين نكته در كار با اين سمانتيك راهگشا خواهد بود.



آزمون اعتبار


در اين بخش، براى اعتبارسنجى فرمول‏ها و صورت‏برهان‏ها در سمانتيك منطق KR، روشى را ارائه مى‏كنيم كه برگرفته از هيوز و كرسول است.24 بنيان اين روش بر برهانخلف استوار است؛ به اين معنا كه ما همواره عدم اعتبار فرمول يا صورت‏برهان مورد نظر را فرض مى‏گيريم و تلاش مى‏كنيم به تناقض برسيم. اگر در رسيدن به تناقض كامياب بوديم، نادرستى فرض را نشان داده و اعتبار را نتيجه مى‏گيريم؛ امّا اگر نتوانيم به تناقض برسيم، تلاش مى‏كنيم يك مدل نقض براى فرمول يا صورت‏برهان مورد آزمون بيابيم. اگر چنين مدلى را يافتيم، عدم اعتبار را نتيجه مى‏گيريم؛ امّا اگر چنين مدلى يافت نشد، ديگر نمى‏توان اعتبار يا عدم اعتبار را نتيجه گرفت.



آزمون اعتبار در منطق كلاسيك جمله‏ها


آزمون اعتبار در منطق كلاسيك به اين صورت است كه براى برهان خلف، به ادات اصلى مقدّمه‏ها ارزش1 و به ادات اصلى نتيجه‏ها ارزش 0 مى‏دهيم و به كمك شرايط صدق، تلاش مى‏كنيم تا ارزش ادات فرعى و جمله‏نشانه‏ها را به دست آوريم. (براى آزمون فرمول‏ها، به ادات اصلى آنها ارزش 0 مى‏دهيم.) در اينجا، مثالى ذكر مى‏كنيم كه نبوى در كتاب خود شرح داده است؛25 برآنيم تا اعتبار صورت‏برهان زير را در منطق كلاسيك بسنجيم:
















 

P É Q



,



R É S



,



P Ú S





Q Ú R



در آغاز، مقدّمه‏ها را صادق فرض مى‏كنيم و نتيجه را كاذب مى‏گيريم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú S





Q Ú R



 

1



 

1



 

1



 

0



بنا به جدول ارزش فاصل، كذب نتيجه مستلزم كذب طرفين آن ( Qو R) است. بنابراين، ارزش 0 را براى همه موارد Qو Rوارد مى‏كنيم:
























P É Q



,



R É S



,



P Ú S





Q Ú R



1 0



 

0 1



 

1



 

0 0 0



امّا صدق تركيب شرطى (مادّى) در مقدّمه نخست و كذب تالى آن، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم كذب مقدّم آن (P) است. بنابراين، ارزش 0 را براى همه موارد Pوارد مى‏كنيم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú S





Q Ú R



 

0 1 0



 

0 1



 

0 1



 

0 0 0



امّا صدق تركيب فصلى در مقدّمه سوم و كذب مقدّم آن، بنا به جدول ارزش فاصل، مستلزم صدق تالى آن (S) است. بنابراين، ارزش 1 را براى همه موارد Sوارد مى‏كنيم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú S





Q Ú R



 

0 1 0



 

0 1 1



 

0 1 1



 

0 0 0



مى‏بينيم كه با اين ارزش‏گذارى‏ها، همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها ارزش‏دهى شدند؛ بدون اينكه تناقضى پديد آيد. اين امر نشان مى‏دهد كه فرض نخستين، يعنى فرض صدق مقدّمه‏ها و كذب نتيجه، مستلزم هيچ تناقضى نيست و ممكن است مقدّمه‏ها صادق و نتيجه كاذب باشند؛ بنابراين، صورت‏برهان بالا نامعتبر است. در صورت عدم اعتبار، مى‏توان مثال نقض يا مدل نقض ارائه كرد. براى اين كار، ارزش جمله‏نشانه‏ها را از آزمون به پايان رسيده گردهم آورده و جداگانه مى‏نويسيم:


















P



Q



R



S



0



0



0



1



اين مدل نقض، سطرى از جدول ارزش را نشان مى‏دهد كه در آن، مقدّمه‏هاى صورت‏برهان بالا صادق‏اند و نتيجه آن كاذب است.


اكنون، براى صورت‏برهان معتبر در منطق كلاسيك، مثالى مى‏آوريم و آن را مى‏آزماييم:
















 

P É Q



,



R É S



,



P Ú R





Q Ú S



در آغاز، مقدّمه‏ها را صادق فرض مى‏كنيم و نتيجه را كاذب مى‏گيريم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú R





Q Ú S



 

1



 

1



 

1



 

0



بنابه جدول ارزش فاصل، كذب نتيجه مستلزم كذب طرفين آن ( Qو S) است. بنابراين، ارزش 0 را براى اين دو متغيّر وارد مى‏كنيم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú R





Q Ú S



 

1 0



 

1 0



 

1



 

0 0 0



امّا صدق تركيب شرطى (مادّى) در دو مقدّمه نخست و كذب تالى آنها، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم كذب مقدّم آنها ( Pو R) است. بنابراين، ارزش 0را براى Pو Rوارد مى‏كنيم:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú R





Q Ú S



 

0 1 0



 

0 1 0



 

0 1 0



 

0 0 0



امّا صدق تركيب فصلى در مقدّمه سوم و كذب مقدّم و تالى آن، بنا به جدول ارزش فاصل، ممكن نيست و اين تناقض است. اين تناقض را به اين صورت مى‏توان آشكارتر ساخت كه بگوييم كذب مقدّم و تالى تركيب فصلى در مقدّمه سوم مستلزم كذب آن تركيب فصلى است:


























 

P É Q



,



R É S



,



P Ú R





Q Ú S



 

0 1 0



 

0 1 0



 

0 01 0



 

0 0 0



مى‏بينيم كه با اين ارزش‏گذارى‏ها، به تناقض مى‏رسيم. اين امر نشان مى‏دهد كه فرض نخستين، يعنى فرض صدق مقدّمه‏ها و كذب نتيجه، باطل است؛ ممكن نيست مقدّمه‏ها صادق باشند و نتيجه كاذب باشد. بنابراين، صورت‏برهان بالا معتبر است.26



قاعده‏هاى آزمون براى KR


قاعده‏هاى آزمون اعتبار را براى منطق كلاسيك، به كوتاهى، بيان كرديم. همه اين قاعده‏ها براى منطق KRنيز برقرارند، مگر در مورد قاعده‏هاى دو يا چندمقدّمه‏اى. از آنجا كه شرطى ربطى و قاعده‏هاى دو يا چندمقدّمه‏اى در منطق KRشرايط صدق و تعريف اعتبار ديگرى دارند، آزمون اعتبار براى اين دو منطق از اين دو جهت متمايز مى‏شود. شرايط صدق ادات شرطى ربطى و تعريف اعتبار براى قاعده‏هاى دومقدّمه‏اى را قبلاً آورديم؛ بنابراين، تنها لازم است قاعده‏هاى آزمون براى شرطى ربطى را بيان كنيم. امّا اينك، براى يادآورى، همه را تكرار مى‏كنيم:



شرايط صدق شرطى در سمانتيك منطق KR


















در جهان نرمال g :



"x (⊨x A É ⊨x B)



ات‌ا



g (A → B)



در جهان غيرنرمال w :



"x"y [Rwxy É (⊨x A É ⊨y B)]



ات‌ا



W (A → B)



بنا به شرايط صدق ادات شرطى، مى‏توان شرايط كذب آن را نيز به دست آورد:



«شرايط كذب» شرطى


















كذب در جهان نرمال g :



$x (⊨x A & ⊭x B)



ات‌ا



g (A → B)



كذب در جهان غيرنرمال w :



$x$y (Rwxy & ⊨x A & ⊭y B)



ات‌ا



W (A → B)




«اعتبار در مدل» در سمانتيك منطق KR






























اعتبار فرمول غيرشرطي:



g A



=تع



⊨ A



اعتبار فرمول شرطي:



"x (⊨x A É ⊨x B)



=تع



⊨ (A → B)



اعتبار قاعدة تك‌مقدمه‌اي:



"x (⊨x A É ⊨x B)



=تع



A ⊨ B



اعتبار قاعدة دو‌مقدمه‌اي:



"x"y"z[(Rxyz&⊨xA&⊨yB)É⊨zC]



=تع



A , B ⊨ C



چنان‏كه ديده مى‏شود، اعتبار براى فرمول‏هاى شرطى و قاعده‏هاى تك‏مقدّمه‏اى يكسان است.


از «شرايط صدق و كذب» شرطى ربطى، مى‏توان قاعده‏هايى براى «آزمون اعتبار» شرطى به دست آورد.



«آزمون اعتبار» براى ادات شرطى ربطى


















A → B در جهان نرمال g:



1. اگر كاذب باشد:


‌أ. يك و فقط يك جهان جديد مي‌سازيم و


‌ب. در آن جهان، به A ارزش ‘1’ و به B ارزش ‘0’ مي‌دهيم؛


2. اما اگر صادق باشد:


‌أ. جهان جديد نمي‌سازيم؛ بلكه


‌ب. در هر جهاني كه A ارزش ‘1’ دارد به B نيز ارزش ‘1’ مي‌دهيم؛ و


‌ج. در هر جهاني كه B ارزش ‘0’ دارد به A نيز ارزش ‘0’ مي‌دهيم.



A → B در جهان غيرنرمال w :



3. اگر كاذب باشد:


‌أ. دو و فقط دو جهان جديد مانند x و y مي‌سازيم؛


‌ب. رابطة Rwxy را برقرار مي‌سازيم؛


‌ج. به A در x ارزش ‘1’ و به B در y ارزش ‘0’ مي‌دهيم؛


4. اما اگر صادق باشد:


‌أ. جهان جديد نمي‌سازيم؛ بلكه در هر دو جهاني مانند x و y كه رابطة Rwxy برقرار است:


‌ب. اگر A در x ارزش ‘1’ داشته باشد به B در y نيز ارزش ‘1’ مي‌دهيم؛


‌ج. اگر B در y ارزش ‘0’ داشته باشد به A در x نيز ارزش ‘0’ مي‌دهيم.




آزمون اعتبار براى چند فرمول و قاعده


اكنون بايسته است آزمونى را كه طرّاحى كرده‏ايم، در چند مثال، به كار بگيريم تا توانمندى‏هاى آن آشكار گردد:



1) فرمول M3


در آغاز، فرمول M3را از قضاياى كلاسيك در نظر بگيريد:


M3 PÚ(P→Q)


از آنجا كه ادات اصلى اين فرمول شرطى ربطى نيست، براى سنجش اعتبار آن، بايد آن را در جهان نرمال gكاذب بگيريم:













PÚ(P→Q)



g



0



بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:













PÚ(P→Q)



g



0 0 0



بنا به قاعده آزمون، كذب شرطى در جهان نرمال gيك جهان جديد توليد مى‏كند كه مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن كاذب است:













P Q



x



1 0



آشكار است كه دو جهان gو xنمى‏توانند يكى باشند؛ زيرا Pدر xصادق، و در g كاذب است. از اينجا معلوم مى‏شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، كذب فرمول M3ما را به تناقض مى‏رسانْد؛ امّا چون دو جهان داريم، به تناقض نمى‏رسيم. نرسيدن به تناقض نشان مى‏دهد كه فرمول M3در منطق KRنامعتبر است؛ امّا براى عدم اعتبار بايد يك مدل نقض ارائه كنيم. در هر مدل، همه جمله‏نشانه‏ها بايد در همه جهان‏ها ارزش گرفته باشند؛ امّا ارزش Qدر جهان gهنوز به دست نيامده است. از آنجا كه ارزش Qدر جهان gتأثيرى بر ارزش فرمول در gو در xنمى‏گذارد، مى‏توانيم به Qارزش صدق يا ارزش كذب بدهيم. بر اين اساس، دو مدل نقض ارائه مى‏كنيم:










M = <W, g, R, V>


W = {g,x}


R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg}





















V



P



Q



g



0



1



x



1



0




M = <W, g, R, V>


W = {g,x}


R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg}





















V



P



Q



g



0



0



x



1



0




از آنجا كه ارزش ساير جمله‏نشانه‏ها (مانند S، Rو...) در اين دو مدلْ تأثيرى ندارد، مى‏توانيم همه آنها را در هر دو جهان صادق بگيريم يا همه را در هر دو جهان كاذب بگيريم يا برخى را صادق و برخى را كاذب بگيريم. اين امر نشان مى‏دهد كه براى فرمول M3، نه دو مدل نقض، بلكه بى‏نهايت مدل نقض داريم! در حقيقت، دو مدل بالا، مدل‏هاى ناقصى هستند كه به بى‏نهايت روش مى‏توانند تكميل شوند. ما از نوشتن مدل‏هاى نقض به صورت كامل همواره پرهيز مى‏كنيم.



2) پارادوكس انفصال


اكنون به پارادوكس انفصال از قضاياى كلاسيك مى‏پردازيم:


(P→Q)Ú(Q→P) پارادوكس انفصال


براى سنجش اعتبار اين فرمول، بايد آن را در جهان نرمال gكاذب بگيريم (زيرا ادات اصلى آن شرطى ربطى نيست):













(P→Q)Ú(Q→P)



g



0



بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:













(P→Q)Ú(Q→P)



g



0 0 0



بنا به قاعده آزمون، كذب شرطى در جهان نرمال gجهان تازه‏اى توليد مى‏كند كه مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن كاذب است. امّا در اينجا، دو شرطى كاذب داريم؛ بنابراين، دو جهان تازه ساخته مى‏شود:
















P Q



y



P Q



x



0 1



1 0



آشكار است كه دو جهان xو yنمى‏توانند يكى باشند؛ زيرا ارزش Pو Qدر آنها متعارض است. از اينجا معلوم مى‏شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، كذب پارادوكس انفصال ما را به تناقض مى‏رسانْد؛ امّا چون دست‏كم دو جهان متمايز داريم، به تناقض نمى‏رسيم. براى عدم اعتبار پارادوكس انفصال بايد يك مدل نقض ارائه كنيم. اين مدل مى‏تواند سه جهان g، x و yرا داشته باشد كه ارزش Pو Qدر جهان gدلخواه است. از اين‏رو، چهار مدل نقض براى پارادوكس انفصال به دست مى‏آيد.


از آنجا كه رابطه دسترس‏پذيرى در مدل سه‏جهانى عضوهاى بسيارى دارد و نوشتن آن طولانى مى‏شود، مناسب است كه ببينيم آيا مى‏توان مدل بالا را دوجهانى ساخت؟ از آنجا كه ارزش‏هاى موجود در جهان gتعارضى با ارزش‏هاى موجود در جهان‏هاى xو y ندارد، به نظر مى‏رسد بتوان يكى از آن دو را با gاين‏همان گرفت. ما جهان gرا با y اين‏همان مى‏گيريم و به مدل زير مى‏رسيم:









M = <W, g, R, V>


W = {g,x}


R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg}





















V



P



Q



g



0



1



x



1



0





3) قاعده استلزام


اكنون به قاعده استلزام از قاعده‏هاى يك‏مقدّمه‏اى مى‏پردازيم:













استلزام



\P → Q



\~P Ú Q



ابتدا، جهت بالا به پايين را بررسى مى‏كنيم. براى سنجش اعتبار قاعده‏هاى يك‏مقدّمه‏اى، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:















~P Ú Q



P→Q



x



0



1



بنا به جدول ارزش فاصل و ناقض، داريم:















~P Ú Q



P→Q



X



01 0 0



1 1 0



امّا بنا به شرط انعكاس Rxxxرا داريم؛ و چون شرطى PQدر x(موضع نخست R) و مقدّم آن در x(موضع دوم R) صادق هستند، بنا به «شرط صدق» شرطى در جهان‏هاى غيرنرمال، Qبايد در x(موضع سوم R) صادق باشد:















~P Ú Q



P→Q



x



01 0 0



1 1 10



اين تناقض نشان مى‏دهد كه جهت بالا به پايين قاعده استلزام معتبر است (زيرا فرض عدم اعتبار آن ما را به تناقض رساند.) توجه شود كه ما مى‏توانستيم رابطه Rxxx را به صورت زير نيز نشان دهيم:



































 

 

 

~P Ú Q



P→Q



x



X



P Q



 

01 0 0



1



1 10



 

 

PQ



x



 

 

 

 

10



در اين نمودار، چون شرطى و مقدّم آن در دو جهان سمت چپ صادق هستند، ناگزير تالى در جهان سوم (در اينجا، يعنى جهان سمت راست كه همان xاست) صادق خواهد بود و اين مسئله ما را به تناقض مى‏رساند. با اينكه ترسيم چنين نمودارى چندان دشوار نيست، ترجيح مى‏دهيم از نمودار ساده‏تر پيشين استفاده كنيم.


امّا براى سنجش اعتبار جهت پايين به بالاى قاعده «استلزام»، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:















P→Q



~P Ú Q



x



0



1



بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى در يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‏آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zكاذب است:



































 

 

 

P→Q



~P Ú Q



x



Z



Q



 

0



1



0



 

 

P



y



 

 

 

 

1



آشكار است كه سه جهان x، y، و zنمى‏توانند يكى باشند؛ زيرا در اين صورت، تركيب فصلى داراى دو ارزش متناقض مى‏شود. از اينجا معلوم مى‏شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، نمى‏توانستيم عدم اعتبار قاعده استلزام (از جهت پايين به بالا) را نشان دهيم. با متمايز گرفتن سه جهان بالا، مى‏توانيم يك مدل نقض چهارجهانى (سه جهان موجود در نمودار به همراه جهان نرمال g) براى اين قاعده ارائه كنيم؛ امّا بهتر است مدل نقض كوچك‏ترى بسازيم. براى ارائه مدل نقض دوجهانى، بايد يكى از x، y، و zرا gبگيريم. هركدام از اين سه را كه gبگيريم، دو جهان ديگر يكى مى‏شوند. ما در اينجا، yرا g مى‏گيريم و zرا در xادغام، و ارزش فرمول‏ها را بر اساس آن محاسبه مى‏كنيم:
























P→Q



~P Ú Q



x



 

 

 

P



g



1 0 0



10 1 0



 

 

 

1



چون ارزش Qدر gنامتعيّن است و هر ارزشى براى آن در نظر بگيريم ايرادى پيش نمى‏آيد، ارزش Qرا در آن صادق مى‏گيريم و به مدل نقض زير مى‏رسيم:









M = <W, g, R, V>


W = {g,x}


R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg}





















V



P



Q



g



1



1



x



0



0





4) عكس نقيض


اكنون به قاعده «عكس نقيض» از قاعده‏هاى يك‏مقدّمه‏اى مى‏پردازيم:













عكس نقيض



\P → Q



\~Q → ~P



براى سنجش اعتبار اين قاعده، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:















~Q → ~P



P → Q



x



0



1



بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى در يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‏آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zكاذب است:



































 

 

 

~Q → ~P



P → Q



x



Z



~P



 

0



1



0



 

 

~Q



y



 

 

 

 

1



اكنون، بنا به جدول ارزش ناقض، ارزش Qدر yو ارزش Pدر zبه دست مى‏آيد:



































 

 

 

~Q → ~P



P → Q



x



Z



~P



 

0



1



0



 

 

~Q



y



 

 

 

 

1



مى‏بينيم كه يك شرطى (PQ) در xصادق، و مقدّم آن (P) در zصادق است و داريم: Rxyz. بنابراين، تالى (Q) در yصادق مى‏شود و به تناقض مى‏رسيم:



































 

 

 

~Q → ~P



P → Q



x



Z



~P



 

0



1



01



 

 

~Q



y



 

 

 

 

1 10



اين موضوع نشان مى‏دهد كه قاعده عكس نقيض در KR معتبر است. توجه شود كه در اينجا، از شرط تقارن استفاده كرده، و از Rxyzبه Rxzyرسيده‏ايم؛ همچنين، با وضع مقدّم شرطى در xبا مقدّم آن در zبه صدق تالى در yرسيده‏ايم. ما همواره از شرط تقارن به صورت غيرصريح استفاده مى‏كنيم؛ از اين‏رو، در ادامه، ديگر به موارد كاربرد آن اشاره نخواهيم كرد.



5) پخش شرطى


يكى ديگر از قاعده‏هاى يك‏مقدّمه‏اى از دسته سوم، قاعده پخش شرطى است كه يكى از صورت‏هاى چهارگانه آن را در اينجا مورد آزمون قرار مى‏دهيم:













پخش شرطي


(روي فاصل در تالي)



\P → (Q Ú R)



\ (P → Q) Ú (P → R)



ابتدا به جهتِ «بالا به پايينِ» اين قاعده مى‏پردازيم. براى سنجش اعتبار اين جهت، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:















(P → Q) Ú (P → R)



P → (Q Ú R)



x



0



1



بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:















(P → Q) Ú (P → R)



P → (Q Ú R)



x



0 0 0



1



بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى PQدر يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‏آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در y صادق، و تالى آن در zكاذب است:



































 

 

 

(P → Q) Ú (P → R)



P → (Q Ú R)



x



Z



Q



 

0 0 0



1



0



 

P



 

y



 

 

 

1



 

امّا P→Rنيز در xكاذب است و اين، دو جهان جديد مانند vو wرا پديد مى‏آورد:



































 

 

 

(P → Q) Ú (P → R)



P → (Q Ú R)



x



W



R



 

0 0 0



1



0



 

P



 

v



 

 

 

1



 

از صدق شرطى P→ (QR)در x، و صدق Pدر yو v، نتيجه مى‏شود كه QRدر zو w صادق است:






















W



Q Ú R



 

 

 

z



Q Ú R



1 0



 

 

 

0 1



از ارزش‏هاى به دست آمده در zو w، مى‏توان نتيجه گرفت كه Rو Q، به ترتيب، در z و wصادق هستند:






















W



Q Ú R



 

 

 

z



Q Ú R



1 1 0



 

 

 

0 1 1



ارزش‏هاى متعارض در zو wنشان مى‏دهد كه اين دو جهان نمى‏توانند يكى باشند.


مى‏بينيم كه به تناقض نرسيده‏ايم؛ امّا همه ادات و جمله‏نشانه‏ها ارزش نگرفته‏اند. اگر همه جمله‏نشانه‏هاى بدون ارزش را صادق در نظر بگيريم، تنها ادات بدون ارزش، يعنى ادات فاصل در مقدّمه نيز ارزش مى‏گيرد و همچنان به تناقض نمى‏رسيم. آيا مى‏توانيم بگوييم اكنون استدلال نامعتبر است و يك مدل شش‏جهانى (پنج جهان نمودار به همراه جهان g) براى آن ارائه كرده‏ايم؟ خير، زيرا ارائه مدلْ مشروط به اين است كه رابطه دسترس‏پذيرى را ميان همه اين شش‏جهان، بر اساس شرايط ساختار، محاسبه كرده باشيم؛ امّا ميان شش جهان 36 رابطه دسترسى قابل تصوّر است، و ما محاسبه نكرده‏ايم كه كدام‏يك از اينها در مدل شش‏جهانى ما برقرار است و كدام‏يك برقرار نيست. بنابراين، گريزى نيست از اينكه مدل بالا را به مدلى كوچك‏تر و عملاً قابل محاسبه فروبكاهيم.


اگر x، v، و wرا با gاين‏همان بگيريم، yو zنيز اين‏همان مى‏شوند و شش جهان گفته‏شده به دو جهان gو xفرومى‏كاهند:









M = <W, g, R, V>


W = {g,x}


R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg}
























V



P



Q



R



g



1



1



0



x



1



0



1




اكنون، جهت پايين به بالاى قاعده «پخش شرطى» را كه در منطق KRمعتبر است بررسى مى‏كنيم. در يك جهان، مقدّمه را صادق، و نتيجه را كاذب مى‏گيريم:















P → (Q Ú R)



(P → Q) Ú (P → R)



x



0



1



بنا به قاعده آزمون و شرط كذب شرطى و فاصل، داريم:



































 

 

 

P → (Q Ú R)



(P → Q) Ú (P → R)



x



Z



Q Ú R



 

0



1



0 0 0



 

 

P



y



 

 

 

 

1



در اينجا به تناقضى نرسيده‏ايم. آيا مى‏توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است؟ خير؛ زيرا تنها وقتى مى‏توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است كه همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها در نمودار ارزش معيّنى گرفته باشند. ادات‏هاى شرطى مقدّمه (يعنى P→Qو P→R) در جهان xهيچ ارزشى نگرفته‏اند؛ بنابراين، نمى‏توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است. امّا ارزش اين دو ادات شرطى در xچيست؟ صدق تركيب فصلى ميان اين دو ادات، نشان مى‏دهد كه دست‏كم، يكى از آن دو صادق است؛ امّا كدام؟


ما در اينجا، دو راه داريم: راه اوّل آن است كه اين نمودار را يك بار با فرض صدق P→Q، و يك بار با فرض صدق P→Rپيش ببريم. اگر هر دو فرضْ ما را به تناقض برساند، استدلال معتبر است؛ امّا اگر دست‏كم يكى از دو فرضْ ما را به تناقض نرساند، و همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها ارزش‏دهى شوند، آن‏گاه استدلال نامعتبر است. اين روش بسيار طولانى است و تا حد ممكن بايد از آن پرهيز كرد (در برخى مثال‏ها، از اين راه گريزى نيست.) راه دوم اين است كه از قاعده رفع تالى استفاده شود. ما اين راه را پى مى‏گيريم:


از آنجا كه رابطه Rxyzرا داريم، اگر P→Qدر x، و Pدر yصادق باشد، بايد Qدر z صادق باشد؛ امّا Qدر zصادق نيست. پس، P→Qدر xصادق نيست. با همين استدلال، مى‏توان نشان داد كه P→Rنيز در xصادق‏نيست. در اين‏صورت، در x، به تناقض مى‏رسيم:



































 

 

 

P → (Q Ú R)



(P → Q) Ú (P → R)



x



Z



Q Ú R



 

0



0 10 0



0 0 0



 

 

P



y



 

 

 

 

1



بنابراين، قاعده «پخش شرطى» در جهت «پايين به بالا» معتبر است.



6) قاعده جايگشت


اكنون، به مثال‏هاى دشوارتر مى‏پردازيم. قاعده جايگشت از قاعده‏هاى يك‏مقدّمه‏اى است:













جايگشت



\ P→(Q→R)



\ Q→(P→R)



اين قاعده سورهاى تودرتو دارد كه اثبات اعتبار آنها، دست‏كم به دو رابطه دسترسى نيازمند است. براى اثبات قاعده جايگشت، مقدّمه‏ونتيجه‏آن‏رادريك‏جهان كاذب مى‏گيريم:














x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

1 0



چون Q→ (P→R)در xكاذب است، پس دو جهان yو zوجود دارند كه Rxyzبرقرار است؛ Qدر yصادق، و P→Rدر zكاذب است:































x



P→(Q→R Q→(P→R)



 

 

 

1 0



 

P→R



z



y



Q



 

0



1



 

 

 

امّا به دليل آنكه PRدر zكاذب است، دو جهان tو uوجود دارند كه Rztuبرقرار است و Pدر tصادق، و Rدر uكاذب است:














































x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

 

 

 

 

1 0



 

P→R



z



 

 

y



Q



 

0



R



u



1



 

P



t



0



 

 

 

1



 

 

دوباره با وضعيتى روبه‏رو شده‏ايم كه نه به تناقض رسيده‏ايم و نه همه ادات‏ها در همه جهان‏ها ارزش‏دهى شده‏اند. البته P→ (Q→R)در xصادق مى‏باشد و مقدّم آن Pدر t صادق است؛ امّا ميان xو t، رابطه دسترس‏پذيرى مشاهده نمى‏شود تا از آن نتيجه‏اى را به دست آوريم. شايد به نظر برسد كه مى‏توان با ارزش‏دهى به جمله‏نشانه‏ها در جهان‏هايى كه ارزش ندارند كار را به پايان رساند و با نيافتن تناقض، حكم به عدم اعتبار قاعده جايگشت صادر كرد؛ امّا چنين حكمى بسيار شتاب‏زده است، چون تعداد جهان‏ها بسيار است و ما شرايط ساختار را كه شامل انعكاس، تقارن، و تعدّى است، در ميان اين جهان‏ها، بررسى نكرده‏ايم. اين احتمال هست كه با بررسى اين شرايط، تناقضى يافت شود. اتّفاقا، چنين است؛ بررسى شرايط ساختار ما را به تناقض مى‏رساند. ما در ادامه، مراحل كار را نشان مى‏دهيم:


در نمودار بالا، دو رابطه دسترسى ( Rxyzو Rztu) مشاهده مى‏شوند. اين دو رابطه را به صورت ساده‏تر: R(xy)tuمى‏توان نوشت. بنا به شرايط جابه‏جايى و شركت‏پذيرى (يا تقارن و تعدّى)، مى‏توان به رابطه R(xt)yuرسيد.27 امّا اين رابطه، بنا به تعريف، برابر است با $w(Rxtw & Rwyu) نمودار اين تعريف به شكل زير است:














































x



 

 

 

 

 

 

 

 

 

w



 

 

t



 

 

 

 

u



 

 

 

y



 

 

 

 

 

 

 

اكنون ‏فرمول‏هاى ‏ارزش‏ دهى ‏شده ‏در نمودار پيشين ‏را به ‏جهان‏هاى ‏نمودار جديد منتقل‏مى‏كنيم:














































x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

 

 

 

 

1 0



 

 

w



 

 

t



P



 

 

R



u



1



 

Q



y



0



 

 

 

1



 

 

از آنجا كه رابطه Rxtwرا داريم، و P(QR)در xصادق مى‏باشد و Pدر tصادق است، بنابراين QRدر wصادق است:














































x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

 

 

 

 

1 0



 

Q→R



w



 

 

t



P



 

1



R



u



1



 

Q



y



0



 

 

 

1



 

 

از آنجا كه رابطه Rwyuرا داريم، و QRدر wصادق مى‏باشد و Qدر yصادق است، بنابراين Rدر uصادق خواهد شد:



















































x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

 

 

 

 

 

1 0



 

Q→R



w



 

 

t



P



 

1



 

R



u



 

1



 

Q



y



01



 

 

 

 

1



 

 

 

همان‏طور كه مى‏بينيم، در جهان u، به تناقض مى‏رسيم؛ بنابراين، جايگشت در منطق KRمعتبر است. پيچيدگى اين مثال در آن است كه در نگاه نخست، تناقضى در نمودارهاى نخستين ديده نمى‏شود و بايد از رابطه R(xy)tu، به رابطه R(xt)yuرسيد.


در اينجا، دو نكته بسيار باريك هست كه اگر به آنها توجه شود، اين رابطه‏ها آسان‏تر يافته و اثبات مى‏شوند:


1) انتقال ميان اين دو رابطه، جزء شرايط ساختار نيست؛ بايد امكان اين انتقال اثبات شود (اثبات اينكه چنين انتقالى امكان‏پذير است، با نام‏هايى چون «انتقال» و «تعدّى»، دشوار مى‏نمايد؛ امّا با نام‏هايى چون «جابه‏جايى» و «شركت‏پذيرى»، بسيار آسان‏تر است.)


2) از كجا بايد مى‏دانستيم كه لازم است، از رابطه نخست، به رابطه دوم رسيد؟ ميان جهان‏هاى x، y، t، و u، مى‏توان رابطه‏هاى بسيارى تصوّر كرد؛ از كجا بايد مى‏دانستيم كه اين رابطه خاص (و نه ديگر رابطه‏ها) برايمان سودمند است؟ در پاسخ به اين پرسش بسيار مهم، بايد به نمودار پيش از تغيير نگريست:














































x



P→(Q→R) Q→(P→R)



 

 

 

 

 

1 0



 

P→R



z



 

 

y



Q



 

0



R



u



1



 

P



t



0



 

 

 

1



 

 

رابطه R(xt)yuاز اين نمودار خوانده مى‏شود و شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در x صادق است؛ دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتيب، در yو tصادق هستند و تالى آن (R) در u كاذب است. پيشتر، وقتى مفهوم رابطه چهارموضعى را بيان مى‏كرديم، گفتيم كه رابطه چهارموضعى مانند R(xt)yuبه اين معناست كه اگر يك شرطى تودرتو در جهان اوّل آن صادق باشد و دو مقدّم آن در دو جهان بعدى صادق باشند، آن‏گاه تالى تالى آن شرطى در جهان چهارم صادق خواهد بود. در نمودار بالا، مى‏بينيم كه شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در xصادق است و دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتيب، در yو t(و نه در tو y) صادق هستند. اكنون، اگر رابطه چهارموضعى R(xt)yuرا داشته باشيم، بايد نتيجه بگيريم كه Rدر uصادق است. اين امر نشان مى‏دهد كه اگر بتوانيم رابطه R(xt)yuرا اثبات كنيم، مى‏توانيم به تناقض برسيم. با اين شگرد، در بسيارى از موارد، مى‏توان حدس زد كه چه رابطه‏هايى مى‏تواند ما را به تناقض برساند.



نتيجه‏گيرى


آزمونى كه در اين مقاله براى اعتبارسنجى در منطق KRارائه كرديم، با اصلاحاتى، برگرفته از آزمون اعتبارى است كه هيوز و كرسوِل در سال 1996 به دست داده بودند. مقايسه‏اى ميان اين دو «آزمون اعتبار» نشان مى‏دهد كه به رغم همه تلاش‏هايى كه با هدف ساده‏سازى آزمون اعتبار براى منطق KRانجام داده‏ايم، اين آزمون بسيار دشوارتر از آزمون مشابه براى منطق موجّهات است. از آنجا كه سمانتيك منطق ربط R(منطقى كه استنتاج گزاره‏هاى دلخواه از تناقض را ممنوع مى‏داند) پيچيده‏تر از سمانتيك منطق KR است، مى‏توان نشان داد كه منطق ربط Rآزمون اعتبار دشوارترى دارد.


از اينجا، مى‏توان پى برد كه اگر شرطى لزومى از منطق سينوى را بخواهيم با «استلزام ربطى» به جاى «استلزام اكيد» تحليل كنيم، با نظام‏هاى بسيار پيچيده و دشوارى روبه‏رو مى‏شويم كه تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در اين نظام‏ها به مراتب پيچيده‏تر و دشوارتر است. از آنجا كه «استلزام اكيد» گزينه مناسبى براى تحليل «شرطى لزومى» نيست و پارادوكس‏هاى بسيارى در تحليل «شرطى لزومى» مى‏آفريند، نتيجه مى‏گيريم كه يك نظام كامل و بى‏عيب و نقص براى «شرطى لزومى» نظامى بسيار پيچيده و دشوار است و اين هزينه‏اى است كه بايد براى استفاده از توانمندى‏هاى فوق‏العاده شرطى لزومى پرداخت.



منابع


ـ اندرتون، هربرت بى.، آشنايى با منطق رياضى، ترجمه غلامرضا برادران خسروشاهى و محمّد رجبى طرخورانى، تهران، نشر دانشگاهى، 1366.


ـ جفرى، ريچارد، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرويز پير، تهران، علمى و فرهنگى، 1366.


ـ ريد، استيون، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى، قم، دانشگاه مفيد، 1385.


ـ فلاحى، اسداللّه، «شرطى لزومى در منطق جديد»، تأملات فلسفى، ش 1، بهار 1388، ص 7ـ46.


ـ ـــــ ، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه كليه»، معرفت فلسفى، ش 25، پاييز 1388، ص 233ـ260.


ـ ـــــ ، «شرطى اتفاقى در منطق جديد»، پژوهش‏هاى فلسفى، ش 214، پاييز و زمستان 1388، ص 105ـ133.


ـ ـــــ ، «لزومى حقيقى و لزومى لفظى»، فلسفه و كلام اسلامى (مقالات و بررسيها)، دفتر 1، پاييز و زمستان 1388، ص 107ـ129.


ـ ـــــ ، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق كلاسيك، رساله دكترى، تهران، دانشگاه تربيت مدرس، 1386.


ـ ـــــ ، منطق موجّه، پايان‏نامه كارشناسى ارشد، قم، دانشگاه مفيد، 1380.


ـ نبوى، لطف‏اللّه، مبانى منطق جديد، تهران، سمت، 1377.


ـ ـــــ ، منطق ربط، تهران، دانشگاه تربيت مدرس، 1389.


ـ هاك، سوزان، فلسفه منطق، ترجمه سيد محمّدعلى حجتى، قم، كتاب طه، 1382.


- Anderson, A. R., & N. Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, 1975, v. I.


- Anderson, A. R., & N. Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, 1992, v. II.


- Hughes, E. G. & M. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, London, Routledge, 1975.


- Priest, Graham, & Sylvan, Richard, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jurnal of Philosophical Logic, v. 21, 1992, p. 217-232.


- _____ , Introduction to Non-Classical Logic, Cambridge, Cambridge University Press, 2001.


- Read, Stephen, Relevant Logic, Oxford, Basil Blackwell, 1988.




* استاديار مؤسسه پژوهشى حكمت و فلسفه ايران. دريافت: 29/1/90 ـ پذيرش: 14/7/90.


falahiy@yahoo.com




1ـ درباره شرطى‏هاى لزومى و اتّفاقى و تحليل آنها در منطق جديد، مى‏توان به مقالات زير مراجعه كرد: اسداللّه فلاحى، «شرطى لزومى در منطق جديد»، تأمّلات فلسفى، ش 1، ص 7ـ46؛ همو، «شرطى اتّفاقى در منطق جديد»، پژوهش‏هاى فلسفى، ش 214، ص 105ـ133.


2ـ بحث فلسفى از انواع شرطى در منطق جديد در بيشتر آثار فلسفه منطق آمده است؛ براى نمونه، ر.ك: سوزان هاك، فلسفه منطق، ترجمه سيد محمّدعلى حجتى.


3ـ براى نمونه، بحث‏هاى دشوار ارائه‏شده، ر.ك: اسداللّه فلاحى، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه كليه»، معرفت‏فلسفى، ش25، ص233ـ260؛ همو، «لزومى‏حقيقى‏ولزومى‏لفظى»، فلسفه و كلام اسلامى، ص107ـ129.


4. Relevance Logic.


5. Relevant Logic


6ـ براى آشنايى با منطق ربط، ر.ك: استيون ريد، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى؛ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى.


7ـ اين منطق‏ها را مى‏توان در آثار زير يافت: استيون ريد، همان؛ اسداللّه فلاحى، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق كلاسيك؛


A. R., Anderson & N, Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, v. 1; A. R., Anderson & N, Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity. v. II.


8. Testing for validity.


9ـ روش جدول ارزش ويژه منطق گزاره‏هاست و براى ديگر منطق‏ها كاربرد ندارد. روش نمودارى براى منطق گزاره‏ها در بسيارى از كتاب‏هاى آموزشى بيان شده است؛ براى كاربرد اين روش در منطق محمول‏ها، مى‏توان به ريچارد جفرى، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرويز پير، ص 131ـ136 مراجعه كرد. گريَم پريست روش نمودارى را به منطق‏هاى ربط توسعه داده است:


Graham Priest, A Introduction to Non-Classocal Logic, p. 184-192.


تعريف صورت نرمال در برخى آثار ترجمه‏شده به فارسى آمده است (هربرت. بى. اندرتون، آشنايى با منطق رياضى، ترجمه‏غلامرضابرادران‏خسروشاهى و محمدرجبى‏طرخورانى،ص57و166ـ168)؛امّاآزمون‏اعتبار به روش صورت‏برهان را نگارنده تنها در اثرى از هيوزوماكس‏كرسوِل،آن‏هم‏براى‏منطق موجّهات ديده است:


Hughes & Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, p. 103-105.


10. Truth-Table Method.


11. Tableaux Method.


12. Normal Form Method.


13. Valuation Method.


14ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق جديد، ص 61ـ62.


15. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. 72-92.


16ـ اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص 86ـ108.


17ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى، ص 148 و 152ـ153.


18ـ استيون ريد، همان، ص 355ـ357 و 380ـ381.


19ـ همان، ص 111ـ115، 358ـ376 و 381ـ400.


20. Graham Priest & Richard Sylvan, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jornal of Philosophical Logic, v. 21, p. 217-232.


21ـ شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان‏هاى غيرنرمال نيز، نسبتا شبيه شرط صدق «استلزام اكيد» در جهان‏هاى منطق S4است؛ تنها تفاوت آن است كه به جاى اينكه مقدّم و تالى شرطى در يك جهان مشترك در دسترس w بررسى شوند، در دو جهان جداگانه xو y(در دسترس w) بررسى مى‏شوند.


22ـ براى درك دليل نام‏گذارى شرط «تعدّى» مى‏گوييم: اگر جهت چپ به راست تعريف «تعدّى» را بنويسيم و با قواعد منطق محمول‏ها هم‏ارزهاى آن را به دست آوريم، بهتر مى‏توانيم مفهوم «تعدّى» را در آن درك كنيم:


























تعدي



R(ab)cd º Ra(bc)d



تعدي



$x(Rabx & Rxcd) É $x(Rbcx & Raxd)



تغيير متغير



$y(Raby & Rycd) É $w(Rbcw & Rawd)



خروج سور (از مقدم شرطي)



"y[(Raby & Rycd) É $w(Rbcw & Rawd]



معرفي سور



"x"y"z[(Raxy & Ryzd) É $w(Rxzw & Rawd]



مى‏بينيم كه با كمى آسان‏گيرى، مى‏توان گفت كه فرمول اخير مى‏گويد: اگر جهان xبه جهان y، و جهان yبه جهان z دسترسى داشته باشد، جهان xبه جهان zدسترسى دارد و اين همان تعدّى است كه در سمانتيك منطق‏هاى وجهى با آن آشنا شديم. (همچنين، با آسان‏گيرى بيشتر، مى‏توان گفت كه فرمول اخير مى‏گويد: اگر aبه y، و y به dدسترسى داشته باشد، aبه dدسترسى دارد.)


23ـ رابطه «دسترسى» و «ديدن» ميان جهان‏ها استعاره‏اى زيباست: انسان از طريق تلويزيون و امواج راديويى، به ديگر نقاط جهان دسترسى مى‏يابد و از طريق دوربين و تلسكوپ، دوردست‏ها و ستاره‏ها را مى‏بيند. امّا اين استعاره زيبا، چنان‏كه كريپكى هشدار داده است، مى‏تواند بسيار گمراه‏كننده باشد. رابطه «دسترسى» و «ديدن»، دقيقا به همان معنايى كه در متن مى‏گوييم، بايد فهميده شود.


24. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. 72-93.


25ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق جديد، ص 61.


26ـ براى شرح بيشتر اين روش، و گشودن گره‏هايى كه گاه در يافتن ارزش برخى فرمول‏ها مانند تركيب شرطى صادق، تركيب فصلى صادق، تركيب عطفى كاذب و نيز دوشرطى به وجود مى‏آيد، ر.ك: اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص 94ـ99؛Hughes & Cresswell, Op.Cit, p. 80-85 .


27ـ براى رسيدن به رابطه R(xt)yu، مى‏توان برهان زير را آورد:






















































1



Rxyz & Rztu



 

مقدمه



2



$z(Rxyz & Rztu)



 

م $ (1)



3



R(xy)tu



 

تعريف R (2)



4



Rx(yt)u



 

تعدي (3)



5



Rx(ty)u



 

تقارن (4)



6



R(xt)yu



 

تعدي (5)