مفهوم امتدادمندى جسم طبيعى در طبيعيات سينوى

سال دهم، شماره اول، پاييز 1391 ـ 81ـ111

غلامحسين رحيمى^*

چكيده

مفهوم امتداد در علوم طبيعى و ويژگى امتدادمندى اشياى مادى نزد حكماى اسلامى مفروض و بديهى انگاشته شده است. اينكه جسم مادى امرى عريض و طويل و عميق است، تقريبا پذيرفته همه حكماست؛ هرچند در توصيف و تبيين آن شيوه هاى متفاوتى را به كار گرفته اند. شايد به جرئت بتوان گفت تنها مفهوم عقلى اى كه مشترك بين همه حكماى متقدم و متأخر است، همين ويژگى امتدادمندى اشياى طبيعى است. به علت بديهى انگاشتن امتدادمندى و نيز تواتر و تكرار در پذيرش اين مفهوم، به تبيين دقيق موضوع امتدادمندى چندان عنايت نشده و به ويژه اين كميت با نگاه جديدتر و متأثر از يافته هاى ذيربط دانش جديد كمتر مورد فحص واقع شده است؛ به گونه اى كه از زمان ابن سينا تاكنون، همان گونه كه در اين مقاله نشان داده مى شود، تبيين جديدتر و متفاوتى از مفهوم بعد و امتدادمندى ارائه نشده است.

در اين مقاله، با بهره گيرى مستقيم از مباحث ابن سينا درباره جسم ممتد، كوشيده ايم كه تقريرى نسبتا جديد از مفهوم امتداد عرضه كنيم. به علاوه بر آنيم تا موضوع امتداد را تنها متعلق به حوزه علوم عقلىِ محض نبينيم و آن را بخشى از موضوع دانش جديد نيز به شمار آوريم. از اين رو به نسبتِ امتداد و مفاهيم همانند آن در رياضى نيز توجه كرده ايم.

كليدواژه ها: امتداد، بعد، جسم طبيعى، دستگاه ممتد، دستگاه مختصات، طبيعيات سينوى.

---

* استاد دانشكده فنى دانشگاه تربيت مدرس. Rahimi_gh@modares.ac.ir

دريافت: 26/1/91 پذيرش: 11/7/91.

---

مقدّمه

دستيابى به معرفتى كه هم به جنبه هاى مابعدالطبيعى (عقلى) دانش توجه كند و هم ابعاد طبيعى (تجربى) آن را دربرگيرد، نخستين گام در دستيابى به معرفت جامع است. در اين ديدگاه، تعارض ميان مباحث عقلى و تجربى از ميان برداشته مى شود و تمايزى كه مشخص كننده مرزها و روش دو حوزه معرفتى است، بر جاى مى ماند. در اين رويكرد، هر حوزه معرفتى متكفل توصيف وجهى از وجوه يك واقعيتِ واحد عينى اما چندبعدى است و لذا ساحت هاى مختلف معرفتى رويكردى تكميلى نسبت به يكديگر دارند. اين پيوستگى بين مباحث را با در پيش نهادن موضوعاتى كه پرداختن به آنها مشترك بين علم و فلسفه است، مى توان نشان داد و يا برقرار كرد. اين مقاله موضوع امتداد را به منزله مفهومى مشترك بين علم و فلسفه كانون بحث قرار مى دهد. مهم ترين مؤلفه اين مقاله جمع بين داده هاى معرفتى مختلف در بحث امتداد است. شيوه بحث بازتاباننده اين واقعيت است كه اگر در مباحث حكما درباره موضوع امتداد، و موضوعات مانند آن، داده هاى يك حوزه معرفتى توسط حوزه ديگر مسكوت مى ماند و يا حتى نفى مى شود، مشكل معرفت شناختى نيست، بلكه معضل روش شناختى است.

صاحب نظران و محققان علم و فلسفه به مفهوم امتداد در جسم طبيعى كمتر توجه كرده اند. بر اساس بررسى و مرور نگارنده، مقاله مستقلى در داخل كشور درباره امتداد نگاشته نشده است. بحث امتداد اغلب ذيل مبحث «جسم» و يا در بخشى از آن مبحث مطرح شده است. مقاله پيش رو، كه در حقيقت در راستاى تكميل مقاله پيشين نگارنده است،¹ هم تقريرى كمابيش متفاوت از مفهوم امتداد در حكمت سينوى به دست مى دهد و هم هرجا كه اقتضاى بحث بوده، مفاهيم مشابه علم تجربى را به صورت تطبيقى مطرح كرده است.

طرح مسئله

به گونه تعجب برانگيزى حكماى مسلمان در ممتد دانستن جسم طبيعى متفق اند و اين صفت را در جسم طبيعى مفروض و ذاتى دانسته اند. به عبارت ديگر برخلاف مفهوم جسم طبيعى كه برخى آن را مركب از ماده و صورت دانسته اند و بعضى اين تركيب را نفى كرده اند، مفهوم امتدادمندى جسم نزد حكماى مشاء، اشراقيون و پيروان حكمت متعاليه پذيرفته شده است. براى نمونه، ميرداماد مى نويسد: «إنّما للجسم الطّبيعىّ، بما هو جسم طبيعىّ، أن يكون سنخ طبيعته وجوهر ماهيته ممتدّا فى الجهات الثّلاث على الإطلاق. فهذا له فى مرتبة ذاته.»²

ملّاصدرا نيز بارها اين امتدادمندى جسم را تأييد مى كند و براى نمونه، مى نويسد: «فى هذا التقسيم أن يقال الجوهر إن كان قابلا للأبعاد الثلاثة فهو الجسم.»³

بهمنياربن مرزبان در التحصيل⁴ و نيز ابوالبركات در المعتبر همين معنا را از جسم به دست مى دهند.⁵ ابن طفيل در كتاب حى بن يقظان بر اينكه همه اجسام در هر چيزى با هم متفاوت باشند، در دارا بودن ابعاد سه گانه، طول و عرض و عمق، مشترك اند، تأكيد مى كند.⁶ شيخ اشراق نيز در پرتونامه مى گويد: «هر جوهر كه البته خالى نشود از طولى و عرضى و عمقى ما آن را جسم خوانيم»؛⁷ و در هياكل النور بر بديهى بودن آن تصريح مى كند: «بدان كه جسم آن است كه مقصود به اشارت بود، و در وى درازى و پهنا و دورى بود بى هيچ شبهت.»⁸

علما و حكماى متأخر نيز مفهوم بعد و امتدادمندى را به همان صورتى كه ابن سينا و فلاسفه متقدم توصيف كرده اند، پذيرفته اند. براى نمونه، علّامه طباطبائى در بدايه الحكمة مى نويسد: «لاريب أن هناك اجساما مختلفة تشترك فى اصل الجسمية التى هى الجوهر الممتد فى الجهات الثلاث.»⁹ نيز مى نويسد: «فالجسم الذى هو جوهر ذو اتصال يمكن ان يفرض فيه الامتدادات الثلاث.»¹⁰ همچنين استاد مطهّرى در درس هاى اشارات، نجات و شفا مى نويسد:

در باب جسم آنچه روشن و بديهى است و احتياج به اثبات ندارد، اين است كه ما اشيايى را در مقابل خود مى بينيم كه اين اشيا قابليت ابعاد سه گانه را دارند. مثلاً اين كتاب شيئى است داراى طول و عرض و عمق.¹¹

آيت اللّه مصباح نيز در آموزش فلسفه مى گويد: «روشن ترين ويژگى جسم، امتداد آن در سه جهت است.»¹² نيز آيت اللّه جوادى آملى در فلسفه صدرا بارها به اين نكته اشاره مى كند: «فصل صورت جسميه، امتداد عمودى در جهات سه گانه است، و امتداد، امر بالفعل و متحصل است»؛¹³ «فصل جسم، مفهوم روشن و بى ابهامِ ممتد است.»¹⁴

در غرب ارسطو جسم طبيعى را تصنيف كرد و اين معنا مورد پذيرش بود تا دكارت كه اصولاً جسم طبيعى و ماده را مترادف امتداد فرض و توصيف كرد. پس از آن نيز دانشمندان علوم عقلى و تجربى امتدادمندى جسم را مستقيم و يا غيرمستقيم تأييد كرده و به كار گرفته اند.

از اين رو به جرئت مى توان گفت كه در آثار فلاسفه و حكماى مسلمان معنا و مفهوم امتداد و امتدادمندى جسم طبيعى در طول بيش از هزار سال تغيير نيافته و تفسير جديد و توصيف متناسب با پيشرفت هاى علمى در اين زمينه نداشته است.

مفهوم امتدادمندى نزد ابن سينا

امتداد¹⁵ در لغت به معناى درازا و گسترش است.¹⁶ براى نمونه امتداد شى ء به معناىدرازاى آن، و امتداد راه به معناى طولانى بودن آن، امتداد زمان به معناى طول و مدت زمان، و امتداد حيات به مفهوم طول عمر است. امتداد داشتن نيز به معناى كشيده شدن است.

نزد ابن سينا نخستين ويژگى ذاتى جسم طبيعى، امتدادمندى يا كشش مكانى يا فضايى است. ابن سينا مى گويد جسم طبيعى جوهرى است كه بتوان در آن سه امتداد فضايى يا مكانى فرض كرد.¹⁷ وى براى تصور اين امتدادها، آنها را دو به دو برهم عمود فرض مى كند.¹⁸ نكته مهم آن است كه از جسم طبيعى، به منزله يك واقعيت عينى،¹⁹ نمى توان ويژگى امتدادمندى را سلب كرد؛ زيرا اين ويژگى، ذاتى (جوهرى) جسم است. به عبارت ديگر هرچند امتداد كميت پيوسته اى است، صفتِ كميت نيست، بلكه صفت جسمى است كه اين مفهوم را به آن نسبت مى دهيم؛ و جسم را نمى توان از اين صفت، مانند اوصاف عَرَضى مانند گرمى و سردى، سفتى و نرمى و نظاير آن خلع كرد. اين ويژگى را ذهن با مشاهده اشياى طبيعى كه بخشى از فضاى فيزيكى را اشغال كرده اند، و اينكه اين ويژگى در همه اشيا مشترك است، استنتاج مى كند. لذا امتدادمندى، ويژگى مشترك همه اجسام طبيعى است. البته از اين كشش مكانى يا فضايى اجسام، ذهن مفاهيم جزئى ترى را نيز مى سازد كه از آنها به حجم، شكل، هيئت و مكان جسم تعبير مى شود كه قابل تغيير، وضع و سلب اند. براى مثال، حجم، حاصل امتدادمندى محدود يا مقيدشده جسم در سه جهت درازا، پهنا و ستبراست. گواه اين امتدادمندى مكانى و يا كشش فضايى اجسام آن است كه مى توان در هر جسمى سه امتداد متعامد فرض و تصور كرد. به عبارت ديگر هم مى توان سه امتداد عمود بر هم در جسم فرض كرد و هم مى توان سه امتداد متعامد را در يك جسم طبيعى به گونه عينى پديد آورد. لذا مفهوم امتداد (سه گانه) در اجسام طبيعى حقيقى است نه اعتبارى؛ و در نتيجه با نفى اعتباركننده نقض نمى شود. شكل (1) جسم طبيعى را كه در آن سه امتداد عمود بر هم فرض شده اند، نشان مى دهد.

شكل 1: جسم طبيعى با سه امتداد متعامد مفروض²⁰

ابن سينا تأكيد مى كند كه امتدادمندى جسم، ذاتى است. اين امتدادمندى تعين ويژه اى ندارد و ناظر به هيچ مقدار كمى مشخصى نيست؛ اما مى توان امتدادهاى معينى را در جسم فرض كرد. اين مفهوم امتداد سه گانه معين و كمّى شده ديگر در جسم جوهرى و ذاتى نيست؛ به گونه اى كه امتدادهاى سه گانه مفروض در جسمى شكل پذير، مانند گِل يا موم (جامد شكل پذير)، يا آب (مايعى كه همواره شكل ظرف حاوى خود را مى گيرد)، با تغيير شكل جسم مى تواند تغيير كند و دستگاه فرضى اوليه، يعنى سه امتداد متعامد مفروض اوليه، به دستگاه ديگرى، يعنى به سه امتداد متعامد ديگر، تبديل شود، در حالى كه كه كشش فضايى سه بعدى جسم، به مثابه يك ويژگى ذاتى براى هر دو جسم همواره برقرار است.²¹ ابن سينا حتى به تغيير حالات جسم نيز توجه مى كند. براى نمونه آب كه به سه شكل جامد (يخ)، مايع و گاز (بخار) وجود دارد، در هر سه حالت واجد امتداد است، اما امتدادهاى كمّى آن در حال تغييرند. نكته مهمى كه ابن سينا بر آن تأكيد مى كند اين است كه چون جسم ذاتا امتدادمند است، لذا فرض ابعاد سه گانه در آن ممكن مى شود، و يا برعكس، فرض امتدادهاى سه گانه در جسم بدين دليل امكان پذير است كه جسم از ويژگى ذاتى امتدادمندى برخوردار است. لذا جسميت جسم ناشى از امكان فرض امتدادهاى سه گانه است، نه به علت فرض يك دستگاه قراردادى مكانى مانند سه بعد مستقيم الخط دوبه دو عمود بر هم. امتدادمندى ويژگى اى است كه مقوم حقيقت جسم است، نه فعليتِ ابعاد. به همين دليل است كه ابن سينا امكان فرض ابعاد سه گانه را در تعريف جسم وارد مى كند، نه فعليت آن را.²² اين دقت، پاسخ به برخى اشكالات ناشى از خلط امتداد ذاتى و امتداد عرضى است كه در كتب و مقالات گوناگون مطرح شده اند و مى شوند؛ بدين قرار كه براى مثال، اگر ابعاد جسمى مساوى بود، درنتيجه طول و عرض و عمق آن مشخص نيست؛ و لذا تعريف اينكه جسم در راستاهاى عرض و طول و عمق امتداد يافته است، صحيح نيست،²³ و يا اينكه در جسم كروى اصولاً هيچ تمايزى بين ابعادش نيست و به عبارت ديگر طول و عرض و عمق ندارد. در پاسخ بايد گفت كه اولاً واضح است كه عرض و طول و عمق قراردادى اند. براى نمونه اگر جسم به شكل يك مكعب باشد، به علت مساوى بودن اضلاع كسى منكر سه بعدى بودن آن نمى شود و امتدادمندى آن را در جهات سه گانه نفى نمى كند. اينكه كدام امتدادْ پهنا و كدام درازا باشد، بسته به قرارداد اعتباركننده است و ربطى به صفت ذاتى امتدادمندى جسم ندارد. به عبارت ديگر امتدادمندى ذاتى كاملاً متفاوت از بعد كمى جسم است؛ ثانيا در جسم كروى هم مى توان ابعاد سه گانه را فرض و تصور كرد و هم اينكه با برش متناسب اين سه امتداد را به گونه عينى پديد آورد.²⁴

به گونه اى شگفت انگيز، مشابهت نظريه دكارت مبنى بر اينكه ماهيت جوهر جسمانى امتداد است، با اين فقره از نظريه ابن سينا بسيار است. در اين زمينه، توصيفى كه در بخش امتداد و ماده از مقاله «ماده از نظر دكارت» آمده است، مؤيد اين نكته است.²⁵ دكارت در اصول فلسفه مى گويد:

گرچه هر صفتى براى اينكه شناختى از جوهر به ما بدهد به تنهايى كافى است، اما هميشه يك صفت در جوهر هست كه طبيعت و ذات جوهر را تشكيل مى دهد و همه صفات ديگر تابع آن است. مقصود من امتداد در طول و عرض و عمق است كه تشكيل دهنده طبيعت جوهر جسمانى است يا انديشه كه تشكيل دهنده طبيعت جوهر انديشنده است.²⁶

وى ماده را كميت متصلى مى داند كه به وضوح تصورپذير است: «در وهله اول كميتى را با وضوح و تمايز تصور مى كنم كه فلاسفه معمولاً آن را كم متصل يا امتداد در درازا، پهنا و ستبرا مى نامند.»²⁷ مهم ترين ويژگى اى كه در اشياى مادى به وضوح تصورپذير است «حجم يا امتداد در درازا و پهنا و ستبرا، [و] شكلى [است] كه حاصل حد و مرز اين امتداد است.»²⁸ دكارت مثال موم را ارائه مى كند و مى گويد كه اگر همه چيزهايى را كه به موم تعلق ندارند از آن حذف كنيم چيزى باقى مى ماند كه داراى امتداد، نرم و حركت پذير است.²⁹ منظور از نرم اين است كه مى توان آن را به شكل هاى مختلف درآورد. موم جسمى است كه استعداد پذيرش تغييرات (شكل) نامتناهى را دارد. سپس دكارت مى پرسد كه اين امتداد چيست؟ در پاسخ دوباره به توضيح خواص جسم مى پردازد، و عملاً براى اين پرسش بنيادين پاسخى درخور ارائه نمى كند. به هرحال برداشت نگارنده آن است كه دكارت در توضيح و معرفى مفهوم امتداد، چيزى بر آنچه ابن سينا و فيلسوفان پس از وى، و پيش از دكارت، مطرح كرده اند، نمى افزايد. به علاوه اگر ذات اشيا را همان امتداد بدانيم، مانند آنچه دكارت فرض مى كند، آن گاه همان گونه كه لايب نيتس مى گويد تفاوتى ميان يك شى ء ممتد مانند سنگ، و فضايى كه توسط اين شى ء اشغال شده است، نخواهد بود؛ اما در تعريف ابن سينا تنها يكى از خاصه هاى ذاتى جسم امتداد است. در چارچوب تفكر سينوى اگر نقل دكارت را بپذيريم، فرق ميان جسم تعليمى (كه پس از اين معرفى مى شود) و طبيعى، حتى در مرحله تحليل ذهنى، از ميان خواهد رفت.³⁰

بر اين اساس مبتنى بر كشش ذاتى مكانى اجسام مى توان بى نهايت دستگاه ممتد مكانى براى جسم، يا در توصيف فضايى جسم، اعتبارا وضع كرد. براى مثال، همان گونه كه براى يك جسم مكعب مستطيل مى توان سه امتداد مستقيم عمود بر هم، دستگاه مستقيم الخط قائم، در نظر گرفت، براى يك جسم كروى مى توان علاوه بر دستگاه يادشده، دستگاه سه بعدى كروى نيز اعتبار كرد، كه دو امتداد آن در راستاى دو دايره عظيمه عمود بر هم و امتداد سوم در راستاى شعاع كره عمود بر دو امتداد مزبور است. بنابراين در حالت كلى اين سه امتداد مى توانند نه مستقيم باشند و نه دوبه دو عمود بر هم.

با اين توصيف، نخستين خاصه جسم كه در طبيعيات ابن سينا مطرح است، يعنى امتدادمندى متعين شده، تفاوت چندانى با آنچه اينك در مكانيك، خاصه فضايى جسم فيزيكى (طبيعى) خوانده مى شود، ندارد. در مكانيك كلاسيك جسم مجموعه ذراتى است كه به صورت يك پيوستار، فضاى معينى را پر مى كند؛ حال اگر فاصله ذرات تحت عوامل داخلى و خارجى همواره ثابت بماند، جسم صلب³¹ خوانده مى شود، و اگرذرات جسم نسبت به يكديگر در حركت و چرخش باشند (مانند موم)، جسم شكل پذير³² ناميده مى شود. در هر دو حالت، كشش فضايى يا امتدادمندى جسممفروض گرفته مى شود و از اين بابت تفاوتى با مفهوم جسمِ ممتدِ مكانى در طبيعيات سينوى ندارند. در جسم صلب، عوامل خارجى، مانند نيروهاى مكانيكى (طبيعى و اجبارى يا قسرى)، حرارتى و الكتريكى و ميدان هاى مختلف، خطوط مفروض اوليه را از نظر امتداد و زواياى بين آنها، تغيير نمى دهند. براى نمونه اگر امتدادهاى مفروضِ اوليه مستقيم و متعامد باشند، پس از تغيير نيز مستقيم و متعامد باقى مى مانند؛ هرچند ممكن است مكان و جهت آنها تغيير كرده باشد (ناشى از حركت و دوران جسم صلب). در جسم شكل پذير، بر اثر عوامل خارجى، امتدادها و زوايا تغيير مى كنند؛ با اين قيد (ذاتى و حقيقى، نه قراردادى) كه خاصيت امتدادمندى در جهات سه گانه كماكان برقرار مى ماند. به عبارت ديگر چنانچه هر نوع تغييرى عارض جسم طبيعى سه بعدى شود، در جسمِ تغييريافته امتدادهاى سه گانه مستقل كماكان قابل فرض و به صورت عينى قابل اشاره و اندازه گيرى اند.

شكل (2) جسمى را به تصوير مى كشد كه در آغاز ـ زمان اوليه يا مرجع كه در هر حال قراردادى است ـ به شكل مكعب مستطيل است و چون در معرض تغييرات قرار مى گيرد به جسم كروى شكل تبديل مى شود (مانند آبى كه نخست در ظرفى مكعب و سپس در ظرف كروى ريخته شده است). جسم در هر دو وضعيت از ويژگى ذاتى امتدادمندى (در جهات سه گانه) برخوردار است. در ضمن، براى هر دو جسم مى توان دستگاه سه بعدى مستقيم الخط قائم را فرض كرد. به علاوه مى توان براى جسم مكعب شكل امتدادهاى سه گانه را مستقيمِ متعامد فرض كرد و براى جسم كروى شكل امتدادها را كروى متعامد در نظر گرفت. در تعبيه دستگاه هاى مكانى، بى نهايت وضع ممكن است. اين نكته، همان گونه كه ابن سينا به دقت بيان و براى آن مثال عددى ذكر مى كند، مبين عَرَضى (در اينجا قراردادى) بودن آنهاست؛ اما در هر وضعيت و حالت، جسم هرگز نمى تواند از قيد سه بعدى بودن رها شود؛ و براى مثال به جسم دوبعدى و يا مجرد از ابعاد تبديل گردد.

شكل 2: جسم مكعب شكل كه در خلال حركت به جسم كروى تبديل مى شود.³³

بنابراين امتداد، خاصه اى ذاتى است كه نشان دهنده تصرف فضايى جسم است. براى تبيين اين خاصه، ممكن بودنِ فرض ابعاد سه گانه در جسم اثبات مى شود. همان گونه كه نشان داده خواهد شد، اين ابعاد در فضاى سه بعدى، سه كميت مستقل از هم اند كه مى توانند تركيبى از طول و زاويه باشند.

با اوصاف مزبور، ابن سينا امتدادمندى را در دو معنا به كار مى گيرد. در نخستين مفهوم، امتداد به معناى كشش ذاتى جسم طبيعى در سه راستاى فضايى است كه ناظر به هيچ مقدار كمى مشخصى نيست، بلكه تنها از يك خاصيت مشتركِ ذاتى اجسام حكايت مى كند كه مصاديق عينى آن كميت قابل اندازه گيرى وتوصيف رياضى است. اين خاصه، محصول تجريد ذهنى است كه با مشاهده انواع متفاوت جسم حاصل شده است؛ لذا از جنس معرفت تجريدى است. از امتداد ذاتى تنها مى توان برداشت حسى داشت و عقلاً آن را اثبات كرد.

دومين معنا، ناظر به امتدادها يا راستاهاى كمّى معين است. اين امتداد از نظر مقدار، جهت، و نسبت پيوسته در حال تغيير است؛ لذا صفت كميت به شمار مى آيد و از جنس عرض است. اين معنا حاصل تجربه مستقيم بشر در رويارويى با اشياى طبيعى است؛ لذا از جنس معرفت تجربى است. امتداد عَرَضى را مى توان اندازه گيرى و مقايسه كرد. واضح است كه درك كامل و عميق هر كدام از مفاهيم، وابسته به درك دقيق ديگرى است. مى توان مفهوم نخست را امتداد ذاتى و مفهوم دوم را امتداد عَرَضى خواند.

سه بعدى بودن امتدادها

همه حكما جسم طبيعى را واجد سه بعد متقاطع دانسته اند؛ اما حكم به نفى اجسام كمتر و يا بيشتر از سه بعد نداده اند. در هر حال مفهوم بعد و ابعاد سه گانه ناشى از تحليل اجسام عينى است. به عبارت ديگر عقل فارغ از حقيقت خارجى اشيا حكم به سه بعدى بودن آنها نكرده است، بلكه در رويارويى با اشياى طبيعى و تجسم و تجسد و حجيم بودن آنها، و فهم و تعريف بُعد و جهت، به داشتن ابعاد سه گانه اذعان نموده است. با اين همه به لحاظ عقلى امكان پذير است كه اشيايى ابعاد كمتر يا بيشتر داشته باشند.

واضح است كه در فضاى دوبعدى، اجسام طبيعى داراى كشش فضايى در دو جهت اند، و به تعبير ابن سينا مى توان دو امتداد مستقيم عمود بر هم در جسم فرض كرد. در فضاى يك بعدى اجسام داراى يك بعدند و مى توان در آنها يك خط ممتد را فرض كرد. بنابراين بحث ابن سينا ناظر به اجسام واقعى مستقر در فضاى سه بعدى است.³⁴

به علاوه، پرسش ديگرى كه مى تواند مطرح شود، اين است كه آيا مى توان جسم بى بعد يا به عبارت ديگر با بعد صفر داشت؟ براى نمونه، درباره كميت هايى مانند انرژى و ميدان (مانند ميدان هاى جاذبه و الكترومغناطيس) چگونه بايد قضاوت كرد؟ در اينجا بحث فضا و مكانِ استقرار اشياى طبيعى كه مشتمل بر ماده و ميدان هستند، مطرح مى شود كه بايد در جاى ديگر به آنها پرداخت.

استقامت³⁵ و تعامد امتدادها

در همه منابع، موضوع امتداد به وضوح همراه با تعامد آنها مطرح شده است. در همين منابع برخى به روشنى و بعضى به گونه ضمنى از استقامت امتدادها نيز سخن گفته اند. قطب الدين شيرازى از معدود حكمايى است كه درباره تعامد امتدادها دليل آورده است.³⁶ وى بيان مى كند كه فقط در صورت تعامد امتدادهاست كه مى توان سه امتداد را فرض كرد و تشخيص داد. اگر امتدادها بر هم عمود نباشند، مى توان امتداهاى بيشتر (زواياى حاده) و يا كمتر (زواياى منفرجه) از سه فرض كرد. البته در چارچوب آموزه هاى فلسفه مشاء و دانش آن دوران، استدلال شيرازى صحيح است؛ زيرا وقتى امتدادها متعامد باشند، جهت ويژه اى در جسم براى فرض امتداهاى سه گانه رجحان ندارد؛ امكان تصور امتدادها آسان تر فراهم مى شود، و در نخستين برخورد، تنها در حالت قائمه بودن زواياى امتدادهاست كه مى توان انحصار سه بعدى يا سه امتدادى را اثبات و يا بر آن تأكيد كرد. در هر حال، در ادامه نشان مى دهيم كه توجه ژرف تر به موضوع، اين فرض را غلط و يا ناقص مى نماياند.

فرض متعامد بودن امتدادهاى سه گانه تنها يكى از فرض ها، و البته متداول ترين آنها، از ميان بى نهايت فرض هاى ديگر است.³⁷ به عبارت ديگر سه امتداد مزبور مى توانند هر زاويه اى با هم بسازند؛ منتها با اين قيد كه نمى توانند در يك صفحه قرار گيرند و يا بر هم منطبق شوند. شكل (3) سه امتدادى را در جسم طبيعى نشان مى دهد كه مستقيم اند، اما بر هم عمود نيستند. فرض سه امتداد مورب، امتدادمندى فضايى جسم را نقض نمى كند؛ اما چون امتدادهاى سه گانه در يك صفحه واقع شدند، جسم به دو بعد تقليل مى يابد و لذا در آن فقط دو امتداد مستقل مى توان فرض كرد؛ و اگر سه امتداد مزبور بر يكديگر منطبق شوند، عملاً جسم يك بعدى است و در آن تنها مى توان يك امتداد فرض كرد. از اين رو اين فرض ابن سينا را بايد بدين گونه تكميل كرد كه اولاً سه امتداد لزوما نبايد دوبه دو بر هم عمود باشند ـ هرچند كه اين فرض كماكان در فيزيك و مهندسى متداول ترين و پركاربردترين است - ثانيا سه امتداد لزوما نبايد در يك صفحه واقع شده باشند؛ چراكه در اين صورت حجمى كه با اين سه امتداد ساخته مى شود، صفر خواهد شد (براى مثال، به حجم متوازى السطوح نشان داده شده در شكل 3 بنگريد)، و درنتيجه جسم به موجود دو بعدى و يا يك بعدى (و حتى يك نقطه) فروكاسته مى شود.

شكل 3: جسم طبيعى با سه امتداد مستقيم مورب

علاوه بر اين و مهم تر از اين مسئله، لزومى ندارد كه سه امتداد مفروض، مستقيم باشند. به عبارت ديگر، امكان فرض سه امتداد خميده غيرمتعامد براى جسم، كماكان مبين امتدادمندى ذاتى آن است. درباره استقامت امتدادها، حكما يا آن را مسكوت نهاده اند و يا آن را بين فرض كرده اند؛ لذا توضيحى درباره آن نداده اند. چنين برداشت مى شود كه ايشان مستقيم بودن امتدادهاى سه گانه را مفروض گرفته اند؛ اما در فرض امتدادمندى جسم طبيعى نيازى نيست كه هر سه امتداد و يا برخى از آنها مستقيم باشند. شكل (4)، سه امتداد مفروضى را در جسم طبيعى نشان مى دهد كه نه مستقيم اند و نه عمود بر هم.³⁸ در همين شكل، امتدادهاى مستقيمِ متعامد نيز نشان داده شده اند تا قراردادى بودن آنها روشن شود. بنابر توضيحات پيشين، هر دو امتداد را عرضى مى خوانيم.

بنابراين فرض خميده بودن امتدادهاى مفروض، ويژگى امتدادمندى جسم را نقض نمى كند، بلكه عموميت بيشتر به تعريف و توصيف مى دهد؛ هرچند كه فرض امتدادهاى مستقيم ساده تر است.

شكل 4: جسم طبيعى با سه امتدادِ فرضى خميده و غيرمتعامد

با اوصاف پيش گفته، جسم چون صورت جسميه³⁹ انتخاب كرد و درنتيجه فرض ابعاد سه گانه در او ممكن شد، صرف نظر از كميت ابعاد، جسم طبيعى خوانده مى شود؛ اما اگر تنها كميت ابعاد سه گانه مدنظر باشد، فارغ از عوارض مادى، با موضوع جسم تعليمى سروكار خواهيم داشت.

جسم تعليمى

تاكنون بحث امتداد را در جسم فارغ از كميت يا مقدار امتداد به پيش برديم. اگر به كميت هاى مشخص امتداد بپردازيم، فارغ از جسميت جسم، مفهوم ديگرى استنتاج مى شود كه در طبيعيات سينوى به جسم تعليمى مشهور است. توپى را در نظر بگيريد. فرض ابعاد سه گانه به منزله يك امرى ذاتى، فارغ از قطر و ضخامت و همه خواص توپ همواره برقرار است. فرض كنيد كه اگر باد توپ كم باشد، قطر آن 15 سانتى متر، اگر باد متوسط باشد قطر آن 20 سانتى متر و اگر پرباد باشد، قطرش 25 سانتى متر است. مثالى كه ابن سينا در دانشنامه مى آورد اين است كه اگر مكعب مستطيلى را از موم به ابعاد يك وجب در دو انگشت در يك انگشت درست كنيد، جسم ابعاد مشخصى دارد. اكنون اگر اين وضعيت را به هم بريزيم و شكل ديگرى از همان توپ يا قطعه موم پديد آوريم، ابعاد مزبور به كلى تغيير مى يابند. آنچه در سه حالتِ مثال اول و يا در دو حالتِ مثال دوم، و همه حالت هاى مشابه ديگر، همواره ثابت است، خاصيت امتدادمندى و درنتيجه امكان فرض سه امتداد مستقل از هم در جسم (توپ و يا قطعه مومى) است؛ اما چنان كه ديديم كميت امتدادها هر لحظه مى تواند تغيير كند. آنچه ثابت مى ماند، جسم طبيعى است و آنچه تغيير مى كند جسم تعليمى خوانده مى شود. جسم طبيعى از جنس «جوهر» است و جسم تعليمى كميت است و لذا از جنس «مقدار»، و به عبارت ديگر از مقوله اعراض است. ابعاد كمّى جسم همواره در معرض تغييرند؛ اما امتداد ذاتى جسم همواره ثابت است. در فيزيك امتدادِ ذاتى مفروض گرفته مى شود، و موضوع مورد بحث و محاسبه، به همان ابعاد متغير كه قابل اندازه گيرى اند، محدود مى گردد.⁴⁰

با توجه به توضيح مزبور، جسم تعليمى كه از آن در علوم تعليمى، يعنى دانش رياضيات و هندسه بحث مى شود، كمّ متصلى است كه پذيراى ابعاد سه گانه است و بر جسم طبيعى عارض مى شود⁴¹ و قائم به جسم طبيعى است. البته هرچند جسم تعليمى قائم به جسم طبيعى است، به حسب وجود متأخر از آن نيست.

در واقعيت بيرونى، جسم تعليمى از جسم طبيعى جدا نيست و اين دو در واقع متحد و موجود به يك وجودند و تنها در تحليل عقلى ميان آنها تفاوت گذاشته مى شود. جسم تعليمى به منزله عَرَضى است كه عارض جسم طبيعى مى شود. جسم طبيعى بدون دارا بودن كميت مشخص، يعنى بدون جسم تعليمى، نمى تواند وجود داشته باشد. براى نمونه، ميز، خودرو، درخت، كپسول گاز و اشياى بى شمار ديگر، همگى مقيد به ابعاد فضايى ويژه اى هستند؛ به عبارت ديگر داراى حجم اند و يا بخشى از فضاى سه بعدى را اشغال مى كنند، و لذا مفهوم جسم تعليمى به آنها تعلق مى گيرد.

اين تفكيك عقلى جسم طبيعى و جسم تعليمى، به گونه اى همانند نمونه فيزيكى و الگوى رياضى از يك پديده يا فرايند واحد طبيعى است؛ با اين تفاوت كه نمونه فيزيكى نيز كران دار و مقيد به قيود پرشمار است. تعريف حجم، هيئت، مكان، فضا، و نظاير آن در فيزيك جديد نيز ناشى از فرض امتداد سه گانه در اجسام فارغ از عوارض مادى است. در حالت كلى، هر مفهومى كه در آن امتدادمندى مندرج باشد، فارغ از خاصه مادى، ربط مستقيمى با جسم تعليمى مى يابد.

توصيف رياضى

با پذيرش تحليل ابن سينا (و ديگر حكما)، در مواجهه با دنياى واقعى و بر اثر تجربه هاى مكرر و متفاوت عينى درمى يابيم كه جسم طبيعى موجودى است كه مى توان در آن ابعادى را فرض كرد. به عبارت ديگر از كشش فضايى و استقرار مكانى جسم طبيعى درمى يابيم كه اين جسم، ذى ابعاد است. بنابراين بعد داشتن جسم طبيعى را مفروض مى گيريم. در ادامه، براى نمايش امتدادها از نمادهاى رياضى و براى توصيفِ ويژگى ذاتى بودن امتدادها، از قواعد حساب بردارها استفاده مى كنيم. روشن است كه چون مجبور به توصيف امتدادهاى متعين هستيم، بحثْ تنها امتدادهاى كمّى شده را دربرمى گيرد.

اكنون اين پرسش مطرح مى شود كه چند امتداد ذاتى در جسم طبيعى، مستقر در فضاى سه بعدى، مى توان فرض كرد؛ يا جسم طبيعى واجد چند امتدادِ ذاتى مفروض است. براى اين منظور، نخست يك جسم دوبعدى طبيعى را در فضاى دوبعدى، در نظر مى گيريم. واضح است كه در اين جسم بى نهايت امتداد مى توان رسم كرد كه در يك نقطه يكديگر را قطع كنند. نخست دو امتداد اختيارى متعامدِ متقاطع در جسم فرض مى كنيم و آنها را با نماد 1q و 2q نمايش مى دهيم. اكنون امتداد سومى را كه دو امتداد مزبور را در نقطه تقاطع Oقطع مى كند، فرض مى كنيم (شكل 5 را ببينيد).

شكل 5: جسم طبيعى دوبعدى و امتدادهاى مفروض

اكنون نشان مى دهيم كه به رغم ترسيم امتداد سوم (و يا امتدادهاى چهارم و بيشتر)، اين امتداد مستقل نيست و عملاً امتدادى (ذاتى) بر دو امتداد اوليه، به جسم نمى افزايد. براى اين منظور، از نقطه تقاطع، در امتداد اولْ طولى مشخص (مثلاً سه واحد) و در امتداد دوم نيز طولى معين (مثلاً دو واحد) انتخاب مى كنيم. خطوط عمود بر اين امتدادها را رسم مى كنيم تا امتداد سوم را در Pقطع كنند. از مثلث OAPداريم:

(1)                                                                                                                               

رابطه (1) نشان مى دهد كه در اين حالت سه كميت (بردار) 1q، 2q، 3q مستقل از يكديگر نيستند و يك رابطه درونى بين آنها برقرار است. چون يك رابطه وجود دارد، لذا از اين سه كميت دو تاى آنها مستقل و يكى وابسته است. به عبارت ديگر، به رغم ترسيم سه امتداد در جسم دوبعدى، فقط دو امتداد مستقل اند و امتداد سوم را بر حسب دو امتداد اول مى توان تعريف كرد. اگر غير از دو امتداد متعامد اوليه، مثلاً دو امتداد ديگر 3 qو 4q رسم مى كرديم، مى توان نشان داد كه دو رابطه درونى بين كميت ها به دست مى آمد كه از ميان چهار كميت 1q، 2q، 3 qو 4 qفقط دوتاى آنها را مستقل معرفى مى كرد. بنابراين در جسم دوبعدى فقط و فقط دو امتداد ذاتى مستقل مى توان فرض كرد؛ نه بيشتر و نه كمتر. البته، در جسم دوبعدى مى توان تنها يك امتداد فرض كرد؛ منتها اين يك فرض مجرد و يا رياضى است و ربطى به مفهوم امتداد به منزله يك ويژگى ذاتى جسم طبيعى ندارد. نكته بسيار مهمى كه بايد بدان توجه كرد آن است كه مثلاً از ميان چهار امتداد (كميت) 1q، 2q، 3q، و 4q مفروض و رسم شده، تنها يكى از جفت ها، (مثلاً (1q، 2q) و يا (2q، 3q) و يا (3q، 4q) را مى توان به منزله دو امتداد مستقل برگزيد. اين گزينش كاملاً اختيارى است. نتيجه مهم ديگرى كه از اختيارى بودنِ گزينشِ امتدادها مى توان گرفت، آن است كه لزومى بر تعامد امتدادها نيست، و اگر دو امتداد مفروض اول متعامد نبودند، روش اثبات استقلالِ امتدادها تفاوتى نمى كرد.

با توصيف مزبور، براى جسم دوبعدى تنها دو امتداد مستقل مى توان فرض كرد، و براى استقلال امتدادها لزومى ندارد كه آنها عمود بر هم باشند. به عبارت ديگر فرض دو امتداد غيرمنطبق بر هم (و نيز غيرمتوازى)، براى دوبعدى بودن جسم كفايت مى كند و هر امتداد ديگرى كه فرض شود، تابعى از دو امتداد مفروض اوليه خواهد بود؛ با اين قيد كه دو امتداد نمى توانند بر روى يك خط واقع شوند؛ زيرا در اين صورت عملاً جسم به شيئى يك بعدى تقليل مى يابد، كه اين از نظر فيزيكى محال است. انتخاب دو امتداد متقاطع، كاملاً اختيارى است.

اكنون جسم طبيعى را در فضاى سه بعدى در نظر مى گيريم. سه نماد 1q، 2q، 3q، را براى نمايش سه امتداد مفروض در جسم به كار مى گيريم. در اينجا، شاخص بالا، معناى رياضى خاصى ندارد و بيشتر نشان دهنده يك قرارداد عمومى است و نبايد آن را با توان اشتباه گرفت. همان گونه كه پيش تر اشاره كرديم، نيازى نيست كه اين سه امتداد مستقيم و يا متعامد باشند.⁴² اجازه دهيد كه چون اين سه امتداد در نقطه اى همديگر را قطع كردند (امتدادها نمى توانند موازى باشند) آنها را دستگاه ممتد مكانى بناميم. اكنون نشان مى دهيم كه سه امتداد مى توانند در حالت ها و وضعيت هاى مختلف تعريف شوند.

دستگاه ممتد تخت (سينوى): در دستگاه ممتد تخت، سه امتدادِ مفروض مستقيم و متعامدند. در شكل (6) امتدادهاى q³=x₃, q²=x₂, q¹=x₁

سه خط مستقيم را نمايش مى دهند كه در مبدأ Oيكديگر را قطع كرده اند.⁴³

شكل 6: دستگاه ممتد تخت

در شكل (6) سه امتداد مستقيم دوبه دو عمود بر هم اند؛ اما امتدادها مى توانند مورب باشند، همان گونه كه در شكل (3) نشان داده شده است. در اين شكل با استفاده از صفحات امتدادى، حجمى ساخته شده است كه در اينجا متوازى السطوح است. اگر امتدادها متعامد باشند، شكل حاصل مكعب مستطيل خواهد بود. اگر اين سه امتداد بر هم عمود باشند، مى توان آن را «دستگاه مكانى سينوى» ناميد.⁴⁴

دستگاه ممتد استوانه اى:⁴⁵ دستگاه ممتد تخت x₃, x₂, x₁ با مبدأ O، نقطه تقاطع سه امتداد،داده شده است. فرض كنيد بعد q¹= r فاصله Pو امتداد x₃ باشد، همچنين بعد  زاويه بين نيم صفحه حاوى محور x₃ و مثبت محور x₁ و نيم صفحه حاوى محور x₃ و نقطه Pاست؛ و نيز مختص q³= z فاصله P از صفحه x₁x₂ است. در اين صورت (r،qوz) را مى توان «دستگاه ممتد استوانه اى» خواند⁴⁶ (شكل 7). در اين دستگاه دو امتداد فرضى مستقيم اند و امتداد سوم خميده است. به علاوه، سه امتداد بر هم عمودند.

شكل 7: دستگاه ممتد استوانه اى

دستگاه ممتد كروى: دستگاه ممتد تخت x1،x2،x3 با مبدأ Oداده شده است. فرض كنيد

r=q1 امتداد بين Pو Oباشد. همچنين زاويه بين مثبت محور x3 و بردار OPباشد و نيز زاويه بين نيم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نيم صفحه حاوى محور x3 و نقطه Pباشد. آن گاه و و امتدادهاى كروى⁴⁷ خوانده مى شوند⁴⁸ (شكل 8). در ايندستگاه يك امتداد مستقيم است و دو امتداد خميده اند. به علاوه سه امتداد عمود بر هم اند.

شكل 8: دستگاه ممتد كروى

با اوصاف گفته شده، واضح است كه مى توان دستگاه هاى ممتد ديگرى را به همين ترتيب معرفى و توصيف كرد.

دستگاه ممتد خميده: در اين حالت هر سه امتداد خميده اند. به عبارت ديگر يك دستگاه ممتد خميده گفته مى شود (در مقابل دستگاه ممتد تختِ قائم يا مورب) اگر امتدادهاى فرضى خطوط مستقيم نباشند.⁴⁹ در حقيقت دستگاه هاى تخت، استوانه اى و كروى، حالت هاى خاص دستگاه خميده اند. در شكل (4) دستگاه خميده همراه با دستگاه تخت و بردار متصل كننده نقاط تقاطع نشان داده شده است.

اكنون براى بررسى استقلال امتدادها، سه بردار را در راستاى مماس بر امتدادها رسم مى كنيم. اين سه بردار را در دستگاه مختصات تعميم يافته q1،q2،q3 پايه يا مبنا مى خوانيم كه به معناى هر مجموعه از بردارهاى g1،g2،g3 با طول ثابت است كه در راستاى ابعاد سه گانه قرار گرفته اند؛ با اين توضيح كه مثلاًg1 مماس بر امتداد خميده (q1) بوده و جهت آن به سمت افزايش q1 است؛ به همين ترتيب است براى g2، g3(شكل 4 را ببينيد). بايد توجه كرد كه در حالت كلى بردارهاى پايه (در حقيقت نماينده متعين شده امتدادها) نه عمود بر يكديگرند و نه لزوما طول آنها ثابت است (درحقيقت به رغم اينكه از جنس كم اند، لزومى به معين بودن آنها از نظر مقدار نيست).

چون منحنى هاى مختص در نقطه Pيكديگر را قطع مى كنند و هيچ دو تاى از آنها نه بر هم منطبق مى شوند و نه موازى اند، لذا آنها هيچ گاه به يك سطح، به يك خط، و يا يك نقطه تقليل نمى يابند. بنابراين بردارهاى مماس آنها در نقطه P، دستگاهى از سه بردار را كه به طور خطى مستقل اند، يعنى g1،g2،g3، تشكيل مى دهند. در جبر خطى اثبات مى شود كه هر سه بردار مستقل خطى در E3 مى توانند دستگاه بردارهاى پايه را تشكيل دهند. بنابراين آنها در فضاى سه بعدى، دستگاه ممتدى را معرفى مى كنند كه همه بردارهاى ديگر را، كه مشخص دستگاه هاى ممتد ديگرى هستند، مى توان نسبت به اين دستگاه بردارهاى پايه نمايش داد.

قضيه: اگر g1،g2،g3 سه بردار پايه در راستاى مماس بر امتدادهاى q1،q2،q3 باشند، آن گاه سه امتداد مستقل اند، اگر و تنها اگر داشته باشيم:

(2)                                                                                                                  

امكان فرض (وجود) امتدادهاى سه گانه واقعى و مستقل در جسم به معناى آن است كه جسم از نظر كشش فضايى سه بعدى خواهد بود. رابطه (2) توصيف رياضى چنين شرطى را منعكس مى سازد.

دستگاه هاى ممتدى كه بردارهاى پايه آنها با يكديگر زاويه قائمه مى سازند، دستگاه هاى متعامد⁵⁰ خوانده مى شوند. بنابراين دستگاه هاى تخت، استوانه اى وكروى همگى دستگاه هاى متعامدند.

ناحيه بى نهايت كوچك از فضا كه با سه سطح مختص محدود شده است، حجم زير را دارد:

(3)                                                                                                  dv=ds₁ (ds₂×ds₃) = g1(g₂×g₃) dq¹dq² dq³

بنابراين حجم متوازى السطوحى كه با بردارهاى g1 وg2 و g3 به وجود آمده است، با رابطه زير داده مى شود:

(4)

به عبارت ديگر، شرط رابطه (2) آن است كه حجم ساخته شده با سه بردار مماس بر امتدادهاى سه گانه نبايد صفر شود؛ يعنى بتوان با سه امتدادِ كمّى شده، حجمى را تصور كرد و پديد آورد. اين معنا، بيان ديگر لزوم استقلال امتدادهاست؛ زيرا اگر حجم مزبور صفر شود، جسم ديگر سه بعدى نخواهد بود و امكان فرض سه امتداد مستقل منتفى خواهد شد.

شرط عمومى تر براى توصيف رياضى استقلال (خطى) امتدادها: اگر a₁،a₂ وa₃ سه ثابت عددى باشند، آن گاه بردارهاى g1،g2،g3 مستقل از يكديگر خواهند بود، اگر رابطه زير

 (5)                                                                                                                                         a₁g₁+ a₂g₂+ a₃g₃ = 0

فقط و فقط زمانى برقرار باشد كه داشته باشيم:

(6)                                                                                                                                            a₁ = a₂ = a₃ = 0

وگرنه بردارهاى مزبور به طور خطى وابسته هستند. به عبارت ديگر امتدادهاى مستقل كمتر از سه خواهد بود.

شرط فوق را براى فضايى با nامتداد مى توان چنين نوشت: اگر g_i و رابطه زير را داشته باشيم:

(7)                                                                                                                                                 

giها مستقل خطى خواهند بود، اگر و تنها اگر داشته باشيم:⁵¹

(8)                                                                                                                                    a_i = 0   i = 1,2 , . . . . ,n

بنابراين براى اينكه جسم در فضاى سه بعدى ممتد باشد، بايد بتوان در آن سه امتدادى را فرض كرد كه متقاطعِ مستقل باشند. اين سه امتداد مى توانند مستقيم، خميده و يا تركيبى از راستاهاى مستقيم و خميده باشند.

دستگاه مختصات: اگر دستگاهِ متشكل از سه امتداد مفروض براى اندازه گيرى موقعيت يك نقطه از فضاى سه بعدى موردنظر، و يا يك ذره از يك جسم طبيعى، و يا تغييرات فضايى عوارض و يا خواص جسم به كار رود، آن را «دستگاه مختصات» مى ناميم. براى مثال، در شكل (6)، سه امتدادى را كه در جسم ترسيم شده است، مى توان دستگاه مختصات مستقيم الخط قائم⁵² ناميد.⁵³ بنابراين «مختصات فضايى»، هر سه عددى هستند كه به گونه يكتا يك موقعيت را در فضا مشخص مى كنند؛⁵⁴ مانند مختصات دكارتى (x,y,z) استوانه اى ، و كروى .

به علاوه با معلوم بودن مختصات يك ذره طبيعى در يك دستگاه مى توان مختصات آن را در دستگاه هاى ديگر محاسبه كرد. با استفاده از روابط هندسى، مى توان معادلات تبديل مختصات را در دستگاه دكارتى، استوانه اى، كروى و نظاير آن به دست آورد.⁵⁵ اين روابطِ تبديل، نشان دهنده آن هستند كه دستگاه هاى مختصات (دستگاه هاى ممتد معطوف به مقدار) نيز قراردادى اند و انتخاب هر كدام بسته به نظر انتخاب كننده است.

با توجه به بحث مزبور مى توان نتيجه گرفت كه فرض دستگاه مختصات در يك جسم طبيعى و يا در فضايى كه حاوى يا حامل آثار مادى (طبيعى) است، تنها زمانى ممكن است كه آن جسم، يا آن فضا، از ويژگى ذاتى امتدادمندى برخوردار باشد.

مهم ترين نكته در توصيف رياضى مزبور، نشان دادن اين حقيقت بوده است كه اصولاً تعريف و ترسيم دستگاه هاى مختصات، تنها با ممتد دانستن جسم طبيعى ممكن است و با مبنا قرار دادن انواع فرض ها درباره امتدادها مى توان دستگاه هاى گوناگون مختصات را تعريف كرد. واضح است كه چون از احجام حاصل از به كارگيرى دستگاه ها، فارغ از ماده مند بودن آنها سخن بگوييم با اشياى مجرد رياضى سروكار خواهيم داشت كه در فضاى بحث امتدادها از آنها با عنوان جسم تعليمى ياد مى شود.

بعد مجرد و غيرمادى

گفته شد كه از خاصيت ذاتى حجيم و يا مكان بند بودن اشياى طبيعى، مفهوم بعد استنتاج مى شود. به عبارت ديگر ماده مندرج در جسم بُعدساز است. از اين رو ابعاد سه گانه ناظر به جسم واقعى اند و درنتيجه بعد را نيز صورتى حقيقى مى دهند. اكنون اين پرسش مى تواند مطرح شود كه آيا عالمِ ابعادى مستقل از ماده مى تواند وجود داشته باشد. مشائيان بعد غيرمادى را نفى كرده اند، حال آنكه اشراقيون به اثبات آن پرداخته اند. استاد مطهّرى در درس هاى الهيات شفا مباحث ناظر به اين مسئله را به اجمال بررسى و تقرير كرده است.⁵⁶ افلاطون و برخى از حكما مكان را بعد مجرد اما موجود دانسته اند.⁵⁷ مهم ترين دليل آنها اين است كه مكان مى تواند ابعاد مادى را در خود جاى دهد. ملّاصدرا درباره مكان مى گويد: «فكانه جوهر متوسط بين عالمين.»⁵⁸ برداشت غالب از تعبير بعد مجرد، همان معناى مشهور يعنى مجرد از ماده است. به نظر مى رسد مقصود قدما از اين تعبير، مجرد از شاغل مادى است. اگر فرض بعد مجرد از ماده را بپذيريم، و آن را حقيقى نيز فرض كنيم، به مفهوم فضاى مطلق، كه يكى از مفاهيم بنيادين مكانيك نيوتنى است، نزديك مى شويم. در هر حال با توجه به اينكه موضوع بعد مجرد، به گونه مستقيم به مفهوم مكان و فضا پيوند مى خورد، و اين مسئله موضوع مقاله پيش روى نيست، به آن نمى پردازيم.

جمع بندى

مهم ترين نتايج حاصل از مباحث مقاله به اين قرارند:

الف) جسم طبيعى موجودى است كه ذاتا امتدادمند است و لذا مى توان در آن امتدادهاى معينى را فرض كرد:

ب) در فضاى مرسوم (سه بعدى) تعداد امتدادهاى مفروض سه است. براى اينكه كشش فضايى جسم سه بعدى باشد، سه امتداد مزبور بايد مستقل از هم باشند. بنابراين جسم طبيعى آن است كه در آن بتوان سه امتداد مستقل از هم فرض كرد. در حالت كلى، امتدادهاى مفروض مى توانند نه عمود بر يكديگر باشند و نه مستقيم؛

ج) در فضاهاى كمتر و يا بيشتر از سه بعد، مى توان امتدادهاى مستقلِ كمتر يا بيشتر فرض كرد؛

د) ابن سينا مفهوم امتداد را در دو معنا به كار مى گيرد: امتداد ذاتى و امتداد عرضى. امتداد ذاتى صفتى است كه نمى توان آن را از جسم سلب كرد و ناظر به امتداد كمى مشخص و تقاطع معين نيست؛ اما امتدادهاى عرضى مى توانند در وضعيت هاى مختلف و زمان هاى متفاوت تغيير كنند؛

ه.) با توجه به تعريف امتدادهاى سه گانه، مى توان مجموعه امتدادهاى متقاطع سه گانه را دستگاه ممتد مكانى ناميد؛

و) مهم ترين قيد امتدادهاى سه گانه آن است كه حجمى كه روى آنها ساخته مى شود نبايد صفر باشد. به عبارت ديگر اگر سه بردار در امتداد آنها فرض كنيم، اين بردارها بايد مستقل خطى باشند؛

ز) فرض دستگاه مختصات در يك جسم طبيعى و يا در فضايى كه حاوى يا حامل آثار مادى (طبيعى) است، فقط زمانى ممكن است كه آن جسم، يا آن فضا، از خاصيت ذاتى امتدادمندى برخوردار باشد. دستگاه مختصات را مى توان دستگاه ممتد معين و كمّى شده دانست كه براى اهداف مشخص و كاربردهاى معين طراحى و تعبيه مى شود؛

ح) تعريف دستگاه هاى مختلف مختصات ناشى از امكان تعريف دستگاه هاى ممتد مكانى مختلف در جسم طبيعى است. به عبارت ديگر همين خاصيت ذاتى امتدادمندى اشياى طبيعى است كه امكان وضع بى نهايت دستگاه مختصات را براى توصيف حركت و استخراج معادلات حاكمه پديده هاى طبيعى امكان پذير مى سازد. در هر حال دانش تجربى كه به نحو وسيعى از دستگاه هاى مختصات بهره مى گيرد، به ماهيت امتدادمندى و مفاهيم اشتقاقى آن مانند فضا و مكان توجه چندانى ندارد و مبتنى بر مفروض گرفتن اين مفاهيم، ابزارهاى فضايى خود را براى توصيف پديده هاى مكان بند تعبيه مى كند؛ اما فلسفه در پى فهم چگونگى امتدادمندى اشيا و پديده هاى طبيعى است. فلسفه با اتكا به يافته هاى علم، بحث خود را به قلمروى مى گستراند (مانند امتدادمندى ذاتى) كه ابزارهاى علمى در آنجا كارايى ندارند (مثلاً دستگاه امتدادسنج!).

بنابراين نزد ابن سينا، جسم طبيعى جوهرى است كه پذيرنده امتدادهاى سه گانه مستقل از هم است. به سبب ويژگى امتدادمندى جسم طبيعى است كه مفهوم مكان روشنى مى گيرد و ذهن را قادر مى سازد تا فضاى لايتناهى را از مفهوم مكان متناهى انتزاع كند.

در پايان بايد يادآور شد كه ابن سينا جسم را بعد محض (مانند دكارت) تعريف نمى كند. وى مى گويد كه علاوه بر كشش فضايى (امكان فرض امتدادهاى سه گانه)، جسم متشكل از دو جزء ماده⁵⁹ و صورت،⁶⁰ و نيز طبيعت و اعراض است. به عبارت ديگر ابن سيناجسم⁶¹ را متشكل از ويژگى هاى ذاتى ديگرى نيز مى داند كه ماده و صورت داخل درقوام جسم اند. اين مفاهيم خود بايد موضوع تحقيقات جداگانه باشند.⁶²

---

پي‌نوشت‌ها:

¹ـ غلامحسين رحيمى، «مفهوم جسم در طبيعيات سينوى»، حكمت سينوى، ش 44، زمستان 1389، ص 57ـ76.

²ـ ميرمحمدباقر داماد، مصنفات ميرداماد، به اهتمام عبداللّه نورانى، ص 49.

³ـ ملّاصدرا، الحكمة المتعالية فى الاسفار العقلية الاربعة، ج 4، ص 234.

⁴ـ بهمنياربن مرزبان، التحصيل، تصحيح مرتضى مطهّرى، ص 309.

⁵ـ ابوالبركات بغدادى، المعتبر فى الحكمة، ص 22.

⁶ـ ابوبكر ابن طفيل، حى بن يقظان، ص 48و49.

⁷ـ شهاب الدين سهروردى، مجموعه مصنفات، ج 3 پرتونامه، ص 6.

⁸ـ همان، هياكل النور، ص 85.

⁹ـ سيد محمدحسين طباطبائى، بدايه الحكمة، ترجمه و شرح على شيروانى، فصل سوم، فى الجسم، ص 66.

¹⁰ـ همان، ص 68.

¹¹ـ مرتضى مطهّرى، مجموعه آثار، ج 7 فلسفه ابن سينا، ص 153.

¹²ـ محمدتقى مصباح، آموزش فلسفه، ج 2، ص 134.

¹³ـ عبداللّه جوادى آملى، فلسفه صدرا، ص 46.

¹⁴ـ همان، ص 47.

¹⁵. Extension.

¹⁶ـ ر.ك: على اكبر دهخدا، لغت نامه دهخدا، ذيل واژه «امتداد»؛ محمد معين، فرهنگ فارسى، ذيل واژه «امتداد».

¹⁷ـ براى مطالعه بيشتر، ر.ك: ابن سينا، فن سماع طبيعى، ترجمه محمدعلى فروغى، ص 19؛ همو، الهيات دانشنامه علائى، مقدمه و تصحيح محمد معين، ص 11، 12و13؛ همو، النجات، تصحيح محمدتقى دانش پژوه، ص 82.

¹⁸ـ «ان الجسم الطبيعى هو الجوهر الذى يمكن ان يفرض فيه امتداد وامتداد اخر مقاطع له على قوائم، وامتداد ثالث مقاطع لهما جميعا على قوائم».

¹⁹ـ «عينى» مترادف «خارجى» است.

²⁰ـ غلامحسين رحيمى، همان، ص 61.

²¹ـ ر.ك: ابن سينا، الهيات دانش نامه علايى، ص 13و14.

²²ـ ر.ك: ابن سينا، الهيات شفا، ترجمه محمد محمدى گيلانى، (فن سيزدهم، مقالات 1ـ4)، ص 88و89 و 90.

²³ـ استاد مطهّرى در درس هاى اشارات مى نويسد: «... جسميت جسم به اين نيست كه جسم سه بعد متمايز داشته باشد؛ اولاً ممكن است كه جسم سه بعد داشته باشد كه هيچ كدام را نشود از ديگرى تميز داد؛ مثلاً اگر ابعادش متساوى باشد، 15*15*15، باشد، كدام طول، كدام عرض و كدام عمق است؟ اگر كره باشد چه؟ كره كه اصولاً هيچ تمايزى ميان ابعادش نيست. [ابن سينا ]جوابى كه مى دهد همين جواب است كه جسميت جسم به اين است كه در آن امكان فرض سه بعدى كه بر هم عمود باشند هست، كه در همه اجسام اين است» ر.ك: مرتضى مطهّرى، همان، ص 158.

²⁴ـ مقاله «چشم اندازى به آراء فيلسوفان پيرامون طبيعت» برخلاف عنوان عمدتا به تعريف و تشريح مفهوم جسم از ديدگاه فلاسفه اسلامى از جمله ابن سينا و ملّاصدرا پرداخته است ر.ك: رضا محمدزاده، «چشم اندازى به آراء فيلسوفان پيرامون طبيعت»، مقالات و بررسيها، دفتر 65. نكته قابل تأمل آن است كه وى در فرازى مى نويسد: «كسانى اين تعريف را [كه جسم جوهرى عريض و طويل و عميق است ]باطل مى دانند؛ چراكه در اين صورت، جسم بسيطى مانند كره كه بالفعل عرض و طول و عمق ندارد داراى اجزاء نيست و لذا بالفعل واجد طول و عرض و عمق نيست.» (همان، ص 103) همان گونه كه اشاره شد، اين اشتباه را نويسندگان متعدد مرتكب شده اند و همان گونه كه در اين مقاله نشان داده مى شود، اين بيان از بُن داراى اشكال است.

²⁵ـ ر.ك: محمود خاتمى، «ماده از نظر دكارت»، فلسفه، دوره سى وچهارم، ش 1، ص 41ـ69.

²⁶ـ رنه دكارت، اصول فلسفه، ترجمه منوچهر صانعى، ص 77ـ78.

²⁷ـ همو، تأملات در فلسفه اولى، ترجمه احمد احمدى، ص 102.

²⁸ـ همان، ص 74.

²⁹ـ همان، ص 55.

³⁰ـ استاد مطهرى در ابتداى توضيح برهان فصل و وصل مى نويسد: اين واقعيت جرم، حقيقتش اين است كه جوهرى است قابل ابعاد سه گانه، و به تعبير ديگر امتداد سه گانه است، نه چيزى داراى امتداد؛ خودش عين امتداد است، يك كشش است، يك واقعيت كشش است كه به آن «واقعيت اتصالى» هم مى گويند ر.ك: مرتضى مطهّرى، همان، ص 176 اين بيان تداعى كننده واقعيت ممتد دكارتى است. در هر حال از توصيف ابن سينا چنين برداشت نمى شود كه وى امتداد را مجرد از ماده و كشش را مستقل از جسم مى دانسته است.

³¹. Rigid.

³². deformable.

³³ـ غلامحسين رحيمى، همان، ص 62.

³⁴ـ توجه شود كه مفهوم فضا را مفروض گرفته ايم و متعرض آن نشده ايم. نكته مهم آن است كه مفهوم فضا با مفهوم امتدادمندى جسم پيوند وثيقى دارد.

³⁵ـ استقامت، همانند استدارت و انحناء، صفتى منسوب به كميات است. استقامت امتداد خط بدين معناست كه هر نقطه اى كه در آن فرض شود بر راستاى واحد باشد. در فضاى تخت (اقليدسى) كوتاه ترين خط واصل بين دو نقطه لزوما مستقيم است. بنابراين امتداد مستقيم آن است كه فاصله بين دو نقطه مفروضِ واقع بر آن، كوتاه ترين فاصله بين آن دو نقطه باشد.

³⁶ـ ر.ك: قطب الدين شيرازى، دره التاج، مقدمه و تصحيح سيدمحمد مشكوة، ص 533.

³⁷ـ به عبارت ديگر اين تعريف كه جوهر جسمانى «جوهرّ يُمكِن ان يُفرَض فيه خطوطّ ثلاثهّ متقاطعةّ على زوايا قوائِم» صحيح، اما ناقص است.

³⁸ـ به چنين دستگاهى عمومى يا خميده گفته مى شود. توجه شود كه تعمدا امتدادها به سياق محورهاى مختصات، براى استفاده در مباحث بعدى، ترسيم شده است.

³⁹ـ صورت جسميه جوهرى است كه در آن فرض سه بعد مى شود. از اين رو با مفهوم امتداد پيوند مى خورد. براى آشنايى با مفهوم صورت در جسم طبيعى، ر.ك: غلامحسين رحيمى، همان.

⁴⁰ـ ابن سينا در توصيف جسم تعليمى مى گويد: جسم تعليمى فاقد وجود خارجى و مفارق از ماده و داراى بعد است. انقسام ذهنى و وهمى در همه جهات مى پذيرد و داراى وضعيت است. ابن سينا، نجات، ص 235

⁴¹ـ در آثار رياضى دانشمندان تمدن اسلامى، كميت متصل يك بعدى «خط» و كميت متصل دوبعدى «سطح» و كميت سه بعدى «جسم تعليمى» خوانده مى شود. در ادبيات جديد علمى، فقره اخير را «حجم» مى ناميم.

⁴²ـ در رياضى، هر سه عدد 1q، 2q، 3q، كه به صورت يكتا موقعيت نقطه Pرا در فضاى سه بعدى اقليدسى 3E و يا ريمانى مشخص مى كنند، مختصات (تعميم يافته) Pخوانده مى شوند.

⁴³ـ در رياضى، مختص هاى x1=q1، x2=q2 و x3=q3 در حقيقت فواصل بين نقطه يا ذره Pو سه صفحه تخت عمود برهم و گذرنده از مبدأ Oمى باشند. در اينجا مفهوم فاصله را مفروض گرفته ايم.

⁴⁴ـ در اينجا دستگاه به معناى دستگاه مختصات كه در رياضى و فيزيك كاربرد دارند، نيست؛ هرچند دستگاه هاى مختصات لزوما با فرض امتدادمندى اجسام قابل تعريف هستند. بلكه در اينجا به مجموعه سه امتداد متقاطع متعين، دستگاه مى گوييم.

⁴⁵. Cylindrical Extensions System.

⁴⁶ـ دستگاه مختصات دكارتى x1،x2،x3 با مبدأ O داده شده است. فرض كنيد مختص r=q1 فاصله Pو محور x3 باشد، همچنين، مختص q=q2 زاويه بين نيم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نيم صفحه حاوى محور x3 و نقطه Pاست. و نيز مختص Z=q3 فاصله Pاز صفحه x1x2 مى باشد. در اين صورت r،qوZ مختصات استوانه اى خوانده مى شوند.

⁴⁷. Spherical Extensions System.

⁴⁸ـ دستگاه مختصات دكارتى x1،x2،x3 با مبدأ O داده شده است. فرض كنيد r=q1 فاصله بين Pو Oباشد. همچنين rq= q2زاويه بين مثبت محور x3 و بردار OP باشد و نيز j=q3 زاويه بين نيم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نيم صفحه حاوى محور x3 و نقطه P باشد. آن گاه r،qوj و مختصات كروى خوانده مى شود. اين مختصات با روابط داده شده در بخش بعد به مختصات x1،x2،x3 مرتبط مى شوند.

⁴⁹ـ شكل هاى مختلف دستگاه هاى ممتد، تعمدا به گونه اى نشان داده شد كه در ترسيم دستگاه هاى مختلف مختصات به كار مى رود. هدف اصلى نشان دادن نسبت بين اين دو مفهوم است.

⁵⁰. Orthogonal.

⁵¹ـ بيان ديگر شرط استقلال خطى بردارها آن است كه دترمينان ماتريسى كه مؤلفه هاى هر بردار اجزاى ستون آن ماتريس را تشكيل مى دهند، نبايد صفر باشد.

⁵²ـ اين دستگاه اغلب دستگاه مختصات دكارتى خوانده مى شود.

⁵³ـ هرچند مى توان معادلات رياضى حاكم بر رفتار پديده هاى طبيعى را مستقل از دستگاه مختصات نوشت به كمك حساب تانسورها، ولى هرگاه نياز به محاسبات كمى و عددى باشد، در چارچوب توصيف رياضى پديده ها، استفاده از دستگاه مختصات گريزناپذير است.

⁵⁴ـ مختصات را به صورت رسمى تر مى توان به صورت زير تعريف كرد: مجموعه اى از nمتغير كه يك شى ء هندسى را مشخص مى سازد. اگر مختصات فواصلى باشد كه در امتداد محورهاى مستقيم عمود بر هم اندازه گيرى مى شود، مختصات دكارتى خوانده مى شود. مطالعه هندسه با استفاده از يك يا چند دستگاه مختصات، به عنوان هندسه تحليلى شناخته مى شود.

⁵⁵ـ براى مطالعه بيشتر، ر.ك: غلامحسين رحيمى، جزوه درسى حساب تانسورها.

⁵⁶ـ مرتضى مطهّرى، همان، ص 514.

⁵⁷ـ «بدان كه مكان در پيش افلاطون بعدى است مجرد ممتد در جميع جهات كه جسم در او نفوذ كند، و اگر نفوذ نكند خالى بود.» نفايس الفنون، ج 2، فن چهارم، از مقاله دوم، فصل اول از باب اول، ص 519

⁵⁸ـ ملّاصدرا، همان، ج 4، فصل 13، ص 43.

⁵⁹. Matter.

⁶⁰. Form

⁶¹. Body.

⁶²ـ ابن سينا جوهرى را كه فارغ از ماده در آن امكان فرض سه بعد مى شود، صورت جسميه مى خواند؛ وبدين ترتيب بحث امتداد با موضوع صورت پيوند مى يابد.

---

منابع

ـ ابن سينا، حسين بن عبداللّه، الهيات شفا، ترجمه محمد محمدى گيلانى، قم، بوستان كتاب، 1379.

ـ ـــــ ، الهيات دانش نامه علايى، مقدمه و تصحيح محمد معين، تهران، انجمن آثار و مفاخر ايران، 1383.

ـ ـــــ ، طبيعيات كتاب نجات، تصحيح محمدتقى دانش پژوه، تهران، دانشگاه تهران، بى تا.

ـ ـــــ ، فن سماع طبيعى، ترجمه محمدعلى فروغى، تهران، اميركبير، 1360.

ـ ان طفيل، ابوبكر، حى بن يقضان، بيروت، دارالمشرق، بى تا.

ـ بغدادى، ابوالبركات، المعتبر فى الحكمة، تهران، دانشگاه اصفهان، بى تا.

ـ جوادى آملى، عبداللّه، فلسفه صدرا، قم، اسراء، 1388.

ـ خاتمى، محمود، «ماده از نظر دكارت»، فلسفه، دوره سى وچهارم، ش 1، 1385، ص 41ـ69.

ـ داماد، ميرمحمدباقر، مصنفات ميرداماد، به اهتمام عبداللّه نورانى، تهران، انجمن آثار و مفاخر فرهنگى، بى تا.

ـ دكارت، رنه، اصول فلسفه، ترجمه منوچهر صانعى، تهران، آگاه، 1360.

ـ ـــــ ، تأملات در فلسفه اولى، ترجمه احمد احمدى، تهران، مركز نشر دانشگاهى، 1361.

ـ رحيمى، غلامحسين، «مفهوم جسم در طبيعيات سينوى»، حكمت سينوى، سال چهاردهم، ش 44، زمستان 1389، ص 57ـ76.

ـ ـــــ ، جزوه درسى حساب تانسورها، تهران، دانشكده دانشگاه تربيت مدرس، بى تا.

ـ شهروردى، شهاب الدين، مجموعه مصنفات، تصحيح سيدحسين نصر، تهران، مؤسسه مطالعات و تحقيقات فرهنگى، بى تا.

ـ شيرازى، قطب الدين، دره التاج، مقدمه و تصحيح سيدمحمد مشكوة، تهران، حكمت، 1385.

ـ طباطبائى، سيد محمدحسين، بدايه الحكمة، ترجمه و شرح على شيروانى، قم، بوستان كتاب، 1389.

ـ محمدزاده، رضا، «چشم اندازى به آراء فيلسوفان پيرامون طبيعت»، مقالات و بررسيها، دفتر 65، تابستان 1378، ص 97ـ115.

ـ مرزبان، بهمنياربن، التحصيل، تصحيح مرتضى مطهرى، تهران، دانشگاه تهران، بى تا.

ـ مصباح، محمدتقى، آموزش فلسفه، تهران، اميركبير، 1378.

ـ مطهّرى، مرتضى، مجموعه آثار، تهران، صدرا، 1377.

ـ ملّاصدرا (صدرالدين محمدبن ابراهيم شيرازى)، الحكمة المتعاليه فى الاسفار العقلية الاربعة، بيروت، دار احياء التراث العربى، 1981م.

افزودن به سبد خرید