الگوريتمى در معرفت و بصيرت رياضى

 

  سال دهم، شماره دوم، زمستان 1391ـ 121ـ135

صادق رحيمى شعرباف*

چكيده

چون مطالعه رياضيات، دستگاه ذهنى را توسعه مى دهد و به كار مى اندازد، مى توان ادعا كرد كه درك عميق مفاهيم رياضى مى تواند در حقيقت يابى و درست فهمى پديده ها مؤثر باشد؛ يعنى درك رياضى مى تواند كمك كند كه فرد، كارهايش را از روى دانايى و بينايى بهترى انجام دهد. به عبارت ديگر فرد مى تواند به توانايى در استنتاج حقايق با استفاده از مفاهيم رياضى نايل شود. در اين مقاله نخست جايگاه معرفتىِ رياضى، با استناد به اقوال افلاطون و دكارت بيان و سپس نوعى از معرفت رياضى كه حاصل درك عميق مفاهيم رياضى است، به منزله معرفت و بصيرت رياضى معرفى مى شود؛ سپس ضمن تعيين حوزه اين نوع معرفت، با استفاده از مفهوم واژه الگوريتم، چگونگى مراحل دستيابى به آن، كانون بحث قرار مى گيرد. همچنين درباره جنبه معرفتى مفهوم تابع و ساختار گراف در نظريه گراف ها، مصاديقى ارائه مى شود.

كليدواژه ها: معرفت شناسى رياضى، معرفت و بصيرت رياضى، مفهوم تابع، الگوريتم، مدل رياضى گراف.

---

* استاديار دانشگاه صنعتى شاهرود.                                                                   srahimi@shahroodut.ac.ir

دريافت: 4/ 10/ 90               پذيرش: 5/ 10/ 91

---

 

 

مقدّمه

طرح بحث معرفت شناسى رياضى به صورت يك نظام معرفتى، موضوعى جدى، مفصل و با سابقه نسبتا طولانى است. در اين باره عقيده بسيارى از عالمان قديم و جديد بر آن است كه حوزه فعاليت رياضيات، حوزه اى عقلى و فكرى است. دو تن از فيلسوفان صاحب نظر و معروف در اين قلمرو، افلاطون و دكارتاند كه در اين مقاله اشاره جزئى به ديدگاه هاى ايشان خواهد شد. نكته درخور توجه آن است كه موضوع بحث اين مقاله، طرح و بررسى كلى مسئله معرفت شناسى رياضى نمى باشد، بلكه طرح وجه خاصى از موضوع است كه از طريق توجه دقيق و عميق به مفاهيم رياضى حاصل مى آيد. نگارنده با ارائه مصاديقى نشان مى دهد كه اين وجه از معرفت رياضى (كه معرفت و بصيرت رياضى ناميده شده است) مى تواند به نوعى درست فهمى و درك بهتر حقيقت بينجامد. در اين باره نخست جهت تبيين جايگاه معرفتى رياضى، ديدگاه دو فيلسوف بزرگ، يكى از قديمى ترين فيلسوفان يعنى افلاطون (427ـ347 ق.م) و ديگرى از فيلسوفان قرن هفدهم، يعنى دكارت (1595ـ1650) مطرح مى شود. سپس موضوع خاص اين مقاله، يعنى معرفت و بصيرت رياضى مورد بحث قرار مى گيرد.

1. معرفت شناسى رياضى افلاطون و دكارت

معرفت شناسى يكى از مهم ترين مباحث فلسفى است كه از آغاز تدوين فلسفه، توجه فيلسوفان به آن معطوف بوده است (انتظام، 1379). در اين ميان افلاطون يكى از برجسته ترين شخصيت هايى است كه معرفت شناسى، دغدغه اصلى و اساسى او بوده است. در مورد جايگاه معرفت نزد افلاطون چنين بيان شده است كه:

همه هنرها و دانش هايى كه با طبيعت سروكار دارند در قلمرو پندار واقع مى شوند و چون پندار معرفت نيست، در نتيجه همه دانش هايى كه با طبيعت سروكار دارند مصداق معرفت نخواهند بود؛ و اين از آن جهت است كه متعلق اين دانش ها همواره در حال دگرگونى است و هرگز به يك حال نبوده و در آينده نيز نخواهد بود. اگر چنين است پس معرفت را در كدام دانش بايد جست وجو نمود؟ افلاطون رياضيات را پيشنهاد مى كند. از نظر افلاطون در رياضيات خصوصيتى وجود دارد كه آن را در مرتبه اى بالاتر از ساير دانش ها قرار مى دهد. از نظر او رياضيات از دانش هايى است كه انسان را به تفكر وامى دارد (همان).

همچنين انتظام به نقل از كتاب جمهورى افلاطون مى نويسد:

چون رياضيات زنجير پندار را از پاى روح آدمى برمى دارد و تفكر را در او برمى انگيزد در مرتبه اى بالاتر از پندار قرار دارد و نبايد آن را نيز پندار بناميم. ازاين رو افلاطون نام ديگرى براى آن پيشنهاد مى كند و آن «شناسايى از راه استدلال» است، تا هم از دانش ديالكتيك كه فراتر از رياضيات است متمايز باشد و هم از پندار كه فروتر از آن است. (همان؛ پاپاس، 1353)

همچنين درباره ديدگاه معرفت شناسى دكارت چنين بيان شده است كه اساس معرفت شناسى رياضى وى مبتنى بر نظم بخشيدن و قاعده مند كردن ذهن است. در اين باره رزمى مى نويسد:

دكارت براى اينكه زيربناى محكمى براى فلسفه خود بگذارد، ابتدا در همه امور شك و ترديد كرد، تا آنچه را كه از وضوح و تمايز كلى برخوردار نيست از حوزه معرفت خارج كند. دكارت در وهله اول معرفت رياضى را يقينى ترين معرفت، معرفى كرد و قايل شد كه بقيه علوم اگر مى خواهند به يقينى غيرقابل ترديد برسند، بايد هم پايه رياضيات شوند (رزمى، 1380، چكيده).

دكارت تنها معرفت دقيق و يقينى را معرفت رياضى مى داند. در اين باره غفارى مى نويسد:

دكارت شديدا به رياضيات علاقه مند بود و حتى نظام معرفت يقينى را فقط محصول تفكر و انديشه رياضى مى دانست و ساير رشته هاى علوم را فاقد توانمندى براى دستيابى به معرفت به اندازه توانمندى رياضى مى شمرد و از اين رو، تلاش داشت تا روش رياضى را در تمام رشته ها به كار گيرد تا شايد آنها در دستيابى به معارف دقيق توانمند شوند؛ زيرا معتقد بود: نه تنها ديگر رشته ها قوت دقت رياضى را ندارند، بلكه تنها معرفت دقيق و يقينى معرفت رياضى است. به همين منظور، تصميم گرفت حتى فلسفه را مبتنى بر روش رياضى بنا نهد تا به تصور خويش آن را بر اصول ترديدناپذير بنياد نمايد و اين بنياد همان نقطه عطف عصر خردگرايى غربى گرديده است كه در ميان انديشمندان به «اصالت رياضيات دكارت» شهرت يافته است (غفارى، 1383).

در اين باره به نظر مى رسد بعضى از فيلسوفان مانند دكارت داراى ديدگاه افراطى اند. فروغى در اين باره مى نويسد:

دكارت معتقد است كه تنها معرفت، معرفت حاصل از روش رياضى است. از اين رو، به سبب همين ويژگى ذاتى روش رياضى، معتقد به برترى اين روش بر روش هاى ديگر گرديد؛ بلكه قايل به انحصار روش تحصيل معرفت به روش رياضى شد. (فروغى، 1375، ص 125)

2. معرفت و بصيرت رياضى

آنچه به منزله مقدمه بحث آورده شد در بيان توجه جدى بعضى از فيلسوفان به موضوع معرفت رياضى بود. گفته شد كه موضوع بحث اين مقاله، طرح و بررسى كلى مسئله معرفت شناسى رياضى نيست، بلكه طرح وجه خاصى از اين موضوع است كه از طريق توجه دقيق و عميق به مفاهيم رياضى حاصل مى گردد كه مى تواند به نوعى درست فهمى بينجامد. براى بررسى اين موضوع، نخست با توجه به ماهيت و ساختار رياضى، ادله امكان ايجاد اين معرفت بيان مى شود. سپس چگونگى دستيابى به معرفت و بصيرت رياضى، مورد بررسى قرار مى گيرد و الگوريتمى در اين باره ارائه مى شود.

     در رياضيات دو ويژگى خاص وجوددارد كه امكان ايجاد معرفت و بصيرت رياضى را فراهم مى آورد.

     الف) ساختار منطقى و استنتاجى رياضيات

ويژگى اول، مربوط به ماهيت و ساختار منطقى و استنتاجى رياضيات است. اين ويژگى به گونه اى است كه سبب تفكر و تمركز فكر مى شود. درباره نقش تفكرى رياضى از ديدگاه افلاطون، انتظام مى نويسد:

 از نظر افلاطون در رياضيات خصوصيتى وجود دارد كه آن را در مرتبه اى بالاتر از ساير دانش ها قرار مى دهد. از نظر او رياضيات از دانش هايى است كه انسان را به تفكر وامى دارد (انتظام، 1379).

همچنين درباره تمركز فكر به وسيله رياضيات در كتاب جمهورى از افلاطون نقل شده است كه «خطاهاى حواس بايد از راه تمركز فكر اصلاح شوند و اين تمركز از راه مطالعه رياضيات ميسر خواهد شد.» (پاپاس، 1353)

     ب) خاصيت مجرد بودن رياضيات

ويژگى دوم رياضيات، خاصيت مجرد بودن آن است. در اين باره جميز استوارت مى نويسد:

مى توان گفت كه قدرت رياضيات در مجرد بودن آن است. يك مفهوم رياضى مجرد، مى تواند تعابير مختلفى در علوم متفاوت داشته باشد. وقتى خواص اين مفهوم رياضى را يك بار و براى هميشه درك نموده و تبيين نماييم، آن گاه مى توانيم برگرديم و تمام اين نتايج را در كليه علوم به كار ببريم. اين موضوع خيلى كارآمدتر خواهد بود تا اينكه خواص مفاهيم خاص در هر علم را جداگانه پيدا كنيم. بسيارى از كاربرد هاى مفاهيم رياضى، به توانايى ما در استنتاج حقايق از اين مفاهيم بستگى دارد. (استوارت، 1386، ص 365)

بنابراين با توجه به دو ويژگى مهم يادشده درمى يابيم كه رياضيات مى تواند در حقيقت يابى و درست فهمى پديده ها مؤثر باشد. نگارنده اين نوع حقيقت يابى و درست فهمى را «معرفت و بصيرت رياضى» مى نامد. تا اين مرحله، طرح مسئله انجام شد. در ادامه بحث سه موضوع مورد بررسى قرار مى گيرد: 1. تعيين حوزه معرفتى؛ 2. بررسى چگونگى ايجاد معرفت و بصيرت رياضى؛ 3. الگوريتم رهگشا در معرفت و بصيرت رياضى.

     الف. تعيين حوزه معرفتى

در اين مقاله آن بخشى از معرفت كه به وسيله مفاهيم رياضى قابل حصول است، معرفت و بصيرت رياضى ناميده شده است. طبيعى است كه ايجاد چنين فهم و معرفتى صرفا در همان حوزه مفهومى، آن هم درباره بعضى از مسائل مى تواند مطرح شود. در همين باره عباراتى همانند اين عبارت دكارت بسيار اغراق آميز به نظر مى رسد: «تنها معرفت، معرفت حاصل از روش رياضى است.» (فروغى، 1375، ص 125) شايد مراد از اين عبارت بيشتر توجه به جايگاه، ماهيت و ساختار رياضيات باشد، نه شمول معرفتى آن. بنابراين در اينجا مراد از معرفت و بصيرت رياضى، كمك در فهم بهتر بعضى از مفاهيم و قوانين حاكم بر مسائل اجتماعى، تاريخى و فلسفى است، نه منحصر ساختن معارف به آن و جايگزين كردن ساير منابع شناختى و معرفتى با آن. بنابراين اين نوع معرفت درباره بعضى از مسائل شناختى مى تواند مطرح شود و نه در همه مسائل. براى نمونه ورود در حوزه هايى كه عقل در آنها ناكارآمد است (مثلاً در حوزه وحى)، از عهده اين نوع معرفت خارج است.

     ب. بررسى چگونگى ايجاد معرفت رياضى

گفته شد كه معرفت رياضى مى تواند به دليل وجود مفاهيم دقيق، ساختارهاى منطقى و روش هاى عقلى و استنتاجى در رياضيات ايجاد شود. نكته درخور توجه آن است كه مراد از معرفت رياضى در اين بحث، نه بيان قوانين علمى در علومى مانند فيزيك، شيمى و مكانيك با استفاده از مفاهيم رياضى است و نه بيان كاربردهاى رياضيات در آن علوم؛ بلكه بررسى امكان كسب معرفتى است كه در خود مفاهيم و ساختارهاى رياضى نهفته است. اين معرفت از طريق توجه دقيق و عميق به مفاهيم رياضى و همچنين به وسيله شناخت روابط رياضى حاكم بر پديده ها (ارائه شده توسط علوم مختلف) حاصل مى گردد، كه گونه اى راهيابى و دستيابى به حقيقت را امكان پذير مى سازد. در ادامه درباره چگونگى ايجاد معرفت رياضى، الگوريتمى ارائه شده است كه مراحل دستيابى به اين معرفت را هموارتر مى سازد. كلمه «الگوريتم» از نام رياضى دان ايرانى، ابوجعفر محمدبن موسى خوارزمى (سال 825م) گرفته شده است. اين كلمه در علوم كامپيوتر داراى جايگاه ويژه اى است. عليخانزاده درباره معناى كلمه الگوريتم مى نويسد: «الگوريتم به مجموعه محدودى از دستورالعمل ها اطلاق مى گردد كه اگر دنبال شوند، حاصل كار موجب حل مسئله خاصى مى گردد.» (عليخانزاده، 1389، ص 5) البته در اين بحث مراحل الگوريتم زير صرفا مى توانند راهگشا باشند و نه لزوما ايجادكننده معرفت؛ زيرا دستيابى به معرفت كه گونه اى خودآگاهى است، نيازمند عوامل پرشمار ديگرى است كه بيان آن از حوصله اين بحث بيرون است. به عبارت ديگر طرح اين بحث بدين معنا نخواهد بود كه هر رياضى دانى، صاحب معرفت مى شود و هر كس رياضى نمى داند، فردى بى معرفت است.

     ج. الگوريتم راهگشا در معرفت رياضى

اين الگوريتم دربردارنده مراحل و گام هايى است:

گام اول فهم محتواى مفهوم رياضى: بازخوانى مفهوم همراه با توجه به ويژگى هاى خاص مفهوم به منظور پاسخ به اين پرسش كه اين مفهوم چه چيزى را مى خواهد بيان كند؟ يا اين مفهوم چه معناى جديدى را ايجاد كرده است؟

گام دوم درك روابط حاكم بر اجزاى مفهوم: توجه به ساختار، اجزا و روابط بين اجزاى مفهوم به منظور پاسخ به اين پرسش كه اين مفهوم چه ساختارى دارد؟

گام سوم درك ارتباط اين مفهوم با ساير مفاهيم: به منظور پاسخ به اين پرسش كه اين مفهوم چه ارتباط منطقى اى با ساير مفاهيم رياضى دارد؟

گام چهارم بسط معرفتى مفهوم به ساير مفاهيم: اين مفهوم به درك چه مفاهيم و يا چه حقايقى مى تواند كمك كند؟

     گفتنى است كه سه گام اول الگوريتم شرط هاى مقدماتى و در عين حال لازم تلقى مى شوند و تحقق گام چهارم در حقيقت، مرحله ايجاد معرفت و بصيرت است. در ادامه براى دو مفهوم رياضى، مصاديقى از نحوه دستيابى به معرفت و بصيرت، ارائه شده است.

3. جنبه معرفتى مفهوم تابع

تابع يكى از مفاهيم بسيار اساسى و پايه در رياضيات جديد است. شكل ساده و كلى تابع يك متغيره بدين صورت است:y=f(x)   

      معمولاً ضابطه تابع، نوع وابستگى متغيرها را به يكديگر نشان مى دهد. بر حسب نوع تابع (خطى، چندجمله اى، نمايى، مثلثاتى و...) وابستگى تغييرات متغيرها (وابسته و مستقل) معين مى شود. اين مسئله، نكته مهمى است كه در تحليل تابع اهميت دارد. با فرض اينكه سه مرحله اول الگوريتم فوق درباره مفهوم تابع طى شده و مفهوم تابع به گونه كامل درك شده است، اين فهم عميق مى تواند در يافتن پاسخ به اين پرسش اصلى مؤثر باشد:

     «مفهوم رياضى تابع، در درك چه حقايقى مؤثر است؟»

     از مفهوم تابع مى توان به اين حقايق پى برد:

     حقيقت 1. تابع رياضى صرفا قانونى است حاكم بر وابستگى كميت هاى متغير، به هم. (كورانت، 1379، ص 293ـ295)

     حقيقت 2. با دقت نظر در مفهوم تابع و توجه دقيق به نحوه رخداد پديده ها مى توان دريافت كه بسيارى از قوانين حاكم بر پديده ها، به صورت تابع عمل مى كنند. براى نمونه در كتاب رياضيات چيست آمده است:

قانون هاى فيزيكى چيزى نيستند مگر حكم هايى درباره نحوه وابستگى برخى از كميت ها به كميت هاى ديگر كه بعضى از اينها مجاز به تغييرند (متغيرهاى مستقل). مثلاً فشار جو به ارتفاع و انرژى يك گلوله به جرم و سرعت آن بستگى دارد. كار فيزيك دانان آن است كه ماهيت دقيق يا تقريبى اين وابستگى را تعيين نمايند (همان).

بنابراين كشف قوانين حاكم بر پديده هاى فيزيكى دقيقا مبتنى بر مفهوم تابع است كه چگونگى وابستگى متغيرها را به يكديگر نشان مى دهد.

     همين بحث را مى توان درباره ساير موضوعات در علوم مختلف جست وجو كرد. البته كشف اين قوانين در حوزه هاى تخصصى به عهده دانشمندان همان حوزه ها بوده و هست. كشف اين قوانين در حوزه هاى علوم مهندسى و تجربى، به ساخت وسايل و ابزار موردنياز بشر مى انجامد و در حوزه هاى علوم انسانى و اجتماعى مى تواند منجر به تصميمات مديريتى و هدايتى شود. ما براى روشن كردن منظور خود درباره نحوه به كارگيرى مفهوم تابع در كشف قوانين، دو مثال فيزيكى ارائه مى كنيم؛ ولى مصداق و منظور حقيقى ما بيشتر نشان داد امكان ايجاد معرفت در حوزه هاى علوم انسانى است؛ يعنى در جهاتى كه انسان بيشتر نيازمند آنهاست، ولى كمتر كانون توجه قرار گرفته اند؛ زيرا معرفت سطحى بالاتر از دانش است و گونه اى راهيابى و دستيابى به حقيقت است.

     الف. نقش كاربرد مفهوم تابع در قوانين فيزيكى

     مصداق 1. قانون بويل درباره گاز موجود در يك محفظه با دماى ثابت، حاصل ضرب فشار در حجم مقدارى ثابت است (p.v=c). با حل اين معادله مى توان هريك از متغيرهاى فشار و حجم را به صورت تابعى از ديگرى به دست آورد. (استوارت، 1389، ص 365)

     مصداق 2. قانون ميزان انرژى قابل ذخيره در يك خازن بدين صورت است:

; حقيقت 3. در استفاده از مفهوم تابع به منزله بيان قانون بين چند متغير، منظور بيان قانونى كه حاكى از رابطه علّى و معلولى باشد، نيست؛ يعنى اينكه وجود يك متغير علت وجود متغير ديگر بوده باشد يا خير، نيست، بلكه تنها بيان نوع وابستگى بين متغيرهاست. (همان)

     ب. بحث معرفتى تابع در حوزه علوم انسانى

حقيقت 4. بسيارى از قوانين حاكم بر پديدهاى اجتماعى به صورت تابع اند. كشف اين قوانين به عهده دانشمندان و نظريه پردازان علوم اجتماعى است. اطلاع ما از اين قوانين و توجه مفهومى به نحوه وابستگى متغيرها در هر قانون، مى تواند در راهيابى و انتخاب مسير و تصميمات ما در زندگى مؤثر باشد.

     مثال 1. نوع وابستگىِ ميزان تلاش و وصول به اهداف.

     تفسير: رابطه مستقيم وجود دارد؛ يعنى ارتباط دو متغير به صورت خطى و صعودى است؛ يعنى با افزايش تلاش، امكان وصول به هدف بيشتر است.

     مثال 2. تعيين نوع وابستگى بين خدمت صادقانه و محبوبيت مردمى.

     تفسير: رابطه مستقيم وجود دارد؛ يعنى ارتباط دو متغير به صورت خطى و صعودى است.

     مثال 3. اطلاع از قوانين سود بانكى و چگونگى وابستگى و تأثيرگذارى متغيرهاى آن بر هم، مى تواند در تصميم گيرى فرد براى سرمايه گذارى مؤثر باشد.

      ج. درك گزاره هاى دينى (معرفت زندگى) با كمك مفهوم تابع

حقيقت 5. هستى قانونمند است و بسيارى از قوانين كلى در حوزه هاى علوم انسانى، سنت هايى تغييرناپذيرند كه به صورت تابع عمل مى كنند. نوع عملكرد تابع به وسيله ضابطه تابع مشخص مى شود؛ يعنى مقدار متغير وابسته براى هر مقدار از متغير مستقل، وابسته به ضابطه و قانون تابع است.

     حقيقت 6. معرفت رياضى مى تواند كمك مؤثرى در درك گزاره هاى دينى داشته باشد؛ يعنى اطلاع از سنت هاى الهى به منزله گزاره هاى كاملاً درست، كه از طريق منابع يقينى مانند قرآن مجيد (و منابع ديگرى مانند احاديث و روايات مستند) به دست مى آيند. ما مى توانيم به روش فوق و به طور مشابه از طريق معرفت رياضى به درك بهتر اين حقايق دست يابيم. اين امر موجب راهيابى بهتر فرد در زندگى مى شود. گفتنى است كه در حوزه هايى مانند مسئله زندگى پس از مرگ، نحوه پاداش و مجازات و ساير مواردى كه از حوزه علم تجربى خارج اند، نيز ابزار معرفت رياضى مى تواند در درك اين مفاهيم كمك مؤثرى باشد. بعضى از نمونه هاى ذيل از جمله اين مواردند كه به صورت تابع عمل مى كننند؛

     مثال اول: خداوند در قرآن، رابطه بين كار نيك و پاداش آن كار را به صورت ده برابر و مجازات كار بد را به اندازه خود همان كار بيان مى كند؛ آنجا كه مى فرمايد: «مَن جَاء بِالْحَسَنَةِ فَلَهُ عَشْرُ أَمْثَالِهَا وَمَن جَاء بِالسَّيِّئَةِ فَلاَ يُجْزَى إِلاَّ مِثْلَهَا وَهُمْ لاَ يُظْلَمُونَ.» (انعام: 160)

     در مورد اول، مثلاً ضابطه تابع مى تواند به صورت  f(x)=10xو در مورد دوم، به صورت f(x)=x تعبير شود.

     تفسير: در اين باره ضمن بيان قانونمندى، جنبه رحمانيت و رحيميت خداوند سبحان و لطف و مرحمت بارى تعالى به بندگان اعلام مى شود.

     مثال دوم: وجود وابستگى بين پاداش و اعمال حسنه: «هَلْ جَزَاء الْإِحْسَانِ إِلَّا الْإِحْسَانُ» (الرحمن: 60).

     تفسير: در اين مورد نيز تأكيد بر وجود ارتباط منطقى بين عمل و پاداش ديده مى شود. در اين حالت به طور منطقى بين دو متغير رابطه مستقيم برقرار است.

      در بسيارى از حالت هاى ديگر، ارتباط بين عمل حسنه و پاداش يا به صورت خطى و صعودى است و يا با توجه به قراين قرآنى، نوع تابع مى تواند به صورت چندجمله اى و يا نمايى باشد؛ يعنى رشد مقدار تابع بسيار بيشتر از رشد مقدار متغير است. به عبارت ديگر، پاداش اعمال صالح، بسيار بيشتر از خود عمل است؛ به گونه اى كه خداوند آن را اجر عظيم مى نامد؛ آنجاكه مى فرمايد: «وَعَدَ اللّهُ الَّذِينَ آمَنُواْ وَعَمِلُواْ الصَّالِحَاتِ لَهُم مَّغْفِرَةٌ وَأَجْرٌ عَظِيمٌ.»(مائده: 9)

     مثال سوم: يك تعبير وسيع تر از تابع، در نحوه ارزيابى عملكردهاى انسان:

     حقيقت 7. مى توان با استفاده از مفهوم تابع مركب، نحوه ارزيابى عملكردهاى انسان ها را درك كرد. تابع مركب زير را در نظر مى گيريم:

     1. x_iها كه امكانات دنيايى فرد تلقى مى شوند، به منزله نعمت هايى از سوى خداوندند و فرد موظف در به كارگيرى آنها براى رشد خود و جامعه است. بنابراين ميزان تلاش فرد در به كارگيرى اين نعمت ها، اندازه توابع g_i را تعيين مى كند؛

     2. حاصل اعمال هر فرد كه به صورت توابع g_i نمايش داده شده است، از لحاظ اندازه كيفى است و به پارامترهايى مانند نيات، اخلاص و تقواى فرد نيز وابسته است. همچنين همواره چنين نيست كه افزايش تعداد متغيرها، يعنى x_i سبب افزايش مقدار تابع شده باشد؛

      3. ماهيت تابع g، كه در علم خداوند است. بنابراين قضاوت و ارزيابى اعمال انسان ها در جهان آخرت تنها از آن خداوند است و ما از كم وكيف آن مطلع نيستيم؛

     4. آنچه انسان ها در عملكرد خود هزينه مى كنند متاع دنيايى است كه فانى است؛ ولى آنچه به منزله پاداش دريافت مى كنند متاع آخرتى و باقى است.

4. معرفت رياضى در نظريه گراف ها

گفته شد كه معرفت رياضى مى تواند به دليل وجود مفاهيم دقيق، وجود ساختارهاى منطقى و روش هاى عقلى و استنتاجى در رياضيات ايجاد شود. در ادامه درباره چگونگى امكان ايجاد معرفت رياضى توسط ساختار گراف ها توضيح مى دهيم. براى اين منظور از مفهوم مدل سازى رياضى استفاده مى شود. مدل سازى، فرايند انتقال از جهان واقعى به جهان مجرد و سپس به كارگيرى ابزار (يا نظريه) براى پيش بينى درباره حقيقت، تعريف شده است. حال اگر يك مسئله يا يك پديده از جهان واقعى را به منزله يك سيستم در نظر بگيريم، يك سيستم عبارت خواهد بود از مجموعه اى از اجزاى مختلف كه به يكديگر وابسته و باهم مرتبط اند و براى هدف خاص و يا انجام كارى، طراحى شده است.

الف. مدل رياضى گراف ها

يك مدل رياضى گراف با تعيين عناصر يك سيستم به منزله رئوس و چگونگى ارتباط بين عناصر، به منزله يال ها، به صورت يك گراف شكل مى گيرد. در نمودار شماره (1) فرايند مدل سازى گراف ارائه شده است.

 

     به گونه كلى براى مدل سازى گراف مى توان دو هدف بنيادين را مطرح ساخت:

     الف) طرح و تعيين بهترين ساختار براى سيستم هايى كه وجود ندارند و بايد طراحى شوند؛

     ب) تحليل رفتار سيستم به منظور بهبود عملكرد براى سيستم هايى كه وجود دارند و بايد چرخه كارها در آن سيستم اصلاح شود.

     ب. حقايق مربوط به مدل رياضى گراف

حقيقت 1. در دنياى كنونى، كه ارتباطات نقش اصلى را دارند، تحليل معرفتى شبكه هاى ارتباطى، به ويژه در بُعد مسائل اجتماعى مى تواند بسيار بصيرت افزا باشد؛

     حقيقت 2. تحليل درست روابط سياسى ـ اجتماعى كشورها با يكديگر در ايجاد درك سياسى، توجه به روابط مجموعه هاى اجتماعى در شناخت گروه هاى سياسى و دقت در ساير مسائل ارتباطى همه و همه مى توانند در راهيابى فرد مؤثر باشند؛ (رحيمى شعرباف، 1387)

     حقيقت 3. بسيارى از پديده هاى اجتماعى به صورت يك سيستم عمل مى كنند. شناخت يك سيستم با اطلاع از نحوه ارتباط عناصر آن سيستم با يكديگر امكان پذير است. بررسى ساختار گراف مى تواند شناخت ما را هم نسبت به تحليل شبكه هاى ارتباطى و هم نسبت به شناخت يك سيستم امكان پذير كند.

نتيجه گيرى

در اين مقاله گفته شد كه درك مفهومى رياضيات مى تواند در حقيقت يابى و درست فهمى پديده ها مؤثر باشد. نگارنده اين نوع حقيقت يابى و درست فهمى را «معرفت و بصيرت رياضى» ناميده است. در اين باره ضمن بيان ديدگاه هاى معرفت شناختى رياضى افلاطون و دكارت، تأكيد شد كه حوزه چنين فهم و معرفتى محدود است و صرفا در همان حوزه مفهومى خاص، مطرح است. در همين زمينه، درباره معرفت رياضى مفهوم تابع، هفت حقيقت و درباره مفهوم مدل گراف ها، سه حقيقت را بيان كرديم.

---

   منابع

ـ استوارت، جميز (1389)، حسابگان عام، ديفرانسيل و انتگرال، ترجمه محمدحسين علامت ساز، تهران، نوپردازان.

ـ انتظام، سيدمحمد، «ساختار منطقى معرفت شناسى افلاطون» (زمستان 1379)، نامه مفيد، ش 24، ص 5ـ35.

ـ پاپاس، نيكولاس (1353)، جمهورى افلاطون، ترجمه محمدحسن لطفى، تهران، خوشه.

ـ رحيمى شعرباف، صادق (1387)، مدل رياضى تصميم گيرى فازى و گراف فازى در توسعه سياست خارجى و روابط بين الملل، اولين كنفرانس ملى كاربرد فناورى اطلاعات و رياضيات در علوم سياسى و روابط بين الملل، تهران، دانشكده روابط بين الملل.

ـ رزمى، عبدالله (1380)، مقايسه معرفت شناسى دكارت و جان لاك و نقد آن، پايان نامه كارشناسى ارشد، رشته فلسفه، خوراسگان، دانشگاه آزاد اسلامى.

ـ عليخانزاده، امير (1379)، طراحى الگوريتم ها، تهران، پرتونگار.

ـ غفارى، حسن، «رويكردى به اصالت رياضى نزد دكارت» (فروردين 1383)، معرفت، ش 76، ص 105ـ115.

ـ فروغى، محمدعلى (1375)، سير حكمت در اروپا، تصحيح و تحشيه امير جلال الدين اعلم، تهران، البرز.

ـ كورانت، ريچارت (1379)، رياضيات چيست؟، ترجمه سيامك كاظمى، تهران، نى.

- Bondy J. A. and Murty U. R. (1977), Graph theory With Application, The Macmillan Press Ltd Reprinted.

 

افزودن به سبد خرید